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[Risolto] Esercizio integrale

  

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Dato l'integrale $\int_{0}^{1} \ln (x+5) d x,$ determina con quale precisione è possibile approssimare il risultato utilizzando
il metodo delle parabole con una scomposizione dell' intervallo in 6 parti uguali. In quante parti $n$ occorre scomporre, come minimo, lo stesso intervallo per avere una maggior precisione, volendo utilizzare il metodo dei trapezi?

$$
\left[4,1 \cdot 10^{-8} ; n=285\right]
$$

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@cenerentola Grazie! 😊

@cenerentola 👍 👍

@Federica 😊 prego

@Sebastiano grazie 😊




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* f(x) = ln(x + 5)
* F(x) = ∫ f(x)*dx = ln(x + 5) = (x + 5)*ln(x + 5) - x + c
* I(f, a, b) = ∫ [x = a, b] f(x)*dx = F(b) - F(a) =
= (b + 5)*ln(b + 5) - (a + 5)*ln(a + 5) + a - b
---------------
* I(f, 0, 1) = (1 + 5)*ln(1 + 5) - (0 + 5)*ln(0 + 5) + 0 - 1 =
= 6*ln(6) - 6*ln(5) - 1 ~= 1.703367253197828131871067484
questa è l'approssimazione di riferimento (se ti dovesse venir voglia di fare le addizioni).
==============================
METODO DI CAVALIERI-SIMPSON (Newton-Cotes di grado due; archi di parabole)
Si divide l'intervallo d'integrazione in "2*n" parti eguali d'ampiezza h individuando le "2*n + 1" ascisse {x[k]} con k da zero a "2*n" su cui tabulare la funzione integranda f(x) (f[k] = f(x[k])).
La formula approssimante è
* ∫ [x = x[0], x[2*n]] f(x)*dx = (h/3)*(f[0] + 4*(Σ d) + 2*(Σ p) + f[2*n]) + R(n)
con
* Σ d = f[1] + f[3] + ... + f[2*n - 1]
* Σ p = f[2] + f[4] + ... + f[2*n - 2]
* R(n) = - (n*h^5/90)*f4(X)
* f4 = d^4/dx^4 f(x)
* x[0] <= X <= x[2*n]
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
* n = 3
* x[0] = 0
* x[2*n] = 1
* h = 1/6
* f(x) = ln(x + 5)
* f4 = - 6/(x + 5)^4
* n*h^5/90 = 1/233280 ~= 4.3/10^6
* 1/216 <= |f4(X)| <= 6/625
* 1/50388480 ~= 1.98/10^8 <= R(n) <= 1/24300000 <= ~= 4.115/10^8 [= risultato atteso]
---------------
Nel formato
* {k, x[k], f[k]}
la tabulazione di f(x) è
{0, 0, 1.609437912434100374600759333}
{1, 1/6, 1.642227735257091245116686966}
{2, 1/3, 1.673976433571671546273683249}
{3, 1/2, 1.704748092238425234644711457}
{4, 2/3, 1.734601055388106388854289381}
{5, 5/6, 1.763588592261358678893634718}
{6, 1, 1.791759469228055000812477358}
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bk%2Ck%2F6%2CN%5Bln%28k%2F6%2B5%29%2C28%5D%7D%2C%7Bk%2C0%2C6%7D%5D
==============================
METODO DI STEVINO (Newton-Cotes di grado uno; segmenti)
La formula approssimante è
* ∫ [x = x[0], x[2*n]] f(x)*dx = (h/2)*(Σ [k = 0, 2*n - 1] (f[k] + f[k + 1])) + R(n)
con
* R(n) = - (h^3/12)*f2(X)
* f2 = d^2/dx^2 f(x)
* x[0] <= X <= x[2*n]
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
* n = incognita
* x[0] = 0
* x[2*n] = 1
* h = 1/(2*n)
* f(x) = ln(x + 5)
* f2 = - 1/(x + 5)^2
* h^3/12 = 1/(96*n^3)
* 1/36 <= |f2(X)| <= 1/25
* 1/(3456*n^3) <= R(n) <= 1/(2400*n^3)
---------------
«In quante parti occorre scomporre, come minimo, lo stesso intervallo per avere una maggior precisione, volendo utilizzare il metodo dei trapezi?»
---------------
Se "maggior precisione" vuol dire "massimo resto minore" allora
* 1/(3456*n^3) <= R(n) <= 1/(2400*n^3) < 1/24300000 ≡
≡ 1 < 2400*n^3/24300000 ≡
≡ (1/10125)*n^3 > 1 ≡
≡ n^3 > 10125 = (3^4)*(5^3) ≡
≡ n > 15*(3)^(1/3) ~= 21.633743554611126 ≡
≡ n = 22 ≡
≡ 2*n = 44 intervalli, ben di meno del risultato atteso di 285.
---------------
Se invece "maggior precisione" vuol dire qualcos'altro allora forse devi aggiornare il quesito.

OVVIAMENTE C'E' SEMPRE LA POSSIBILITA' CHE LA MIA VECCHIAIA ABBIA COLPITO ANCORA.

@exprof Grazie per l'aiuto! 😊



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