Un'urna contiene 20 palline bianche ed $n$ palline nere, $\operatorname{con} n \in \mathbf{N}$ ed $n \geq 2 .$ Un giocatore estrae per 10 volte, consecutivamente, una pallina dall'urna, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell'urna prima dell'estrazione successiva. Determina il minimo valore di $n$ per cui la probabilità di estrarre, nelle dieci estrazioni, almeno una pallina nera sia superiore al 99%. $\quad[n=12]$
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Livello 0
20 B + n N é la composizione dell'urna; allora
Pr [B] = 20/(20 + n) ad ogni estrazione
Così deve risultare
Pr [ almeno una nera ] = 1 - Pr [ tutte bianche ] > 0.99
Pr [ dieci bianche ] < 0.01
(20/(20 + n))^10 < 0.01 con n in N
20/(20 + n) < 0.63096
20 + n > 20/0.63096
n > 20(1/0.63096 - 1)
n > 11.698
n_min = 12
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Livello 6
great job !!
Devi scrivere la probabilità che su 10 estrazioni si realizzi nessuna nera per cui la probabilità richiesta è proprio l’evento contrario a questo:
1-[20/(n+20)]^10>99/100
verifica i risultati di n interi con WolframAlpha!
I calcoli:
(20/(n + 20))^10 < 1 - 99/100
(20/(n + 20))^10 < 1/100
((n + 20)/20)^10 > 100
(n + 20)/20 > 100^(1/10)
n + 20 > 20·100^(1/10)
n > 11.69786384--------> n>12
N.B. nessuna nera=tutte bianche (in 10 estrazioni indipendenti) ha come evento contrario almeno una nera ( non tutte bianche)
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Genius II
