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[Risolto] Esercizio difficile di probabilità

  

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Un'urna contiene 20 palline bianche ed $n$ palline nere, $\operatorname{con} n \in \mathbf{N}$ ed $n \geq 2 .$ Un giocatore estrae per 10 volte, consecutivamente, una pallina dall'urna, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell'urna prima dell'estrazione successiva. Determina il minimo valore di $n$ per cui la probabilità di estrarre, nelle dieci estrazioni, almeno una pallina nera sia superiore al 99%. $\quad[n=12]$

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20 B + n N   é la composizione dell'urna; allora

Pr [B] = 20/(20 + n) ad ogni estrazione

 

Così deve risultare

Pr [ almeno una nera ] = 1 - Pr [ tutte bianche ] > 0.99

Pr [ dieci bianche ] < 0.01

(20/(20 + n))^10 < 0.01 con n in N

20/(20 + n) < 0.63096

20 + n > 20/0.63096

n > 20(1/0.63096 - 1)

n > 11.698

n_min = 12

great job !!




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Devi scrivere la probabilità che su 10 estrazioni si realizzi nessuna nera per cui la probabilità richiesta è proprio l’evento contrario a questo:

1-[20/(n+20)]^10>99/100

verifica i risultati di n interi con WolframAlpha!

I calcoli:

(20/(n + 20))^10 < 1 - 99/100

(20/(n + 20))^10 < 1/100

((n + 20)/20)^10 > 100

(n + 20)/20 > 100^(1/10)

n + 20 > 20·100^(1/10)

n > 11.69786384--------> n>12

N.B. nessuna nera=tutte bianche (in 10 estrazioni indipendenti) ha come evento contrario almeno una nera ( non tutte bianche)

Risposta



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