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[Risolto] Esercizio di probabilità sulla vincita attesa

  

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Un cliente di un casinò continua a scommettere 5 euro sul rosso alla roulette finché non vince 4 scommesse.

a) Qual è la probabilità che giochi in totale 9 volte?

b) Qual è la vincita attesa quando si ferma?

 

Vorrei qualche conferma sul metodo che ho usato per risolvere il problema.

Sul primo punto, ho pensato che se il giocatore vince 4 volte in 9 tentativi significa che sicuramente vince al 9° tentativo, infatti nel testo del problema c'è scritto che continua a scommettere finché non vince 4 volte.

Allora ho calcolato la probabilità di vincere 3 volte nei primi 8 tentativi e moltiplicare questa per la probabilità di vincere all'ultimo tentativo. Per vincere col rosso c'è una probabilità di $\frac{9}{19}$.

$P \,=\, \binom{8}{3} \cdot (\frac{9}{19})^{3} \cdot (\frac{10}{19})^{5} \cdot \frac{9}{19}$

$P \,=\, \binom{8}{3} \cdot (\frac{9}{19})^{4} \cdot (\frac{10}{19})^{5}$

 

Per calcolare il secondo punto, se chiamo $X$ il numerodi scommesse fatte e $X-4$ le scommesse perse il guadagno vale:  $20 - 5\cdot (X-4) \,=\, 40 - 5X$.

Arrivato a questo punto come calcolo la vincita attesa?

   

 

Autore

@stranglehold...a me pare che la probabilità di vincere col rosso sia pari a 18/37 (18 rossi su un totale di 18*2 più lo zero)

 

@Remanzini_Rinaldo

l'esercizio è tratto dalla versione italiana di A First Course in Probability di Sheldon M. Ross, e, leggendo da wikipedia, la roulette nella versione statunitense può avere 38 numeri. Ti metto lo screenshot con l'esercizio.

Immagine
1 Risposta
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Il primo é corretto se lo é p ( io ricordavo 18/37, invece )

Per il secondo devi calcolare E [ 40 - 5 X ] = 40 - 5 E[X]

 

Osservi poi che

 

Pr [ X = k ] = Pr [ 3 successi in k - 1 prove & successo all'ultima ] =

= C(k-1, 3) p^3 q^(k-4) * p = C(k-1, 3)* p^4 q^(k-4), q = 1 - p

 

e che idealmente   E[X] = S_k:4->oo   k* C(k-1,3) p^4 q^(k-4)

 

Nota. A questo punto bisogna sapere che il tempo di k.mo successo di un processo di Bernoulli é

una "Binomiale Negativa" la cui media é k/p

 

(pagina 71)

e nel tuo caso   avresti 40 - 5 * 4/(9/19) = 40 - 380/9 = -20/9 euro.

@eidosm 

Grazie per la risposta

@eidosm ...great job👍




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