Un cliente di un casinò continua a scommettere 5 euro sul rosso alla roulette finché non vince 4 scommesse.
a) Qual è la probabilità che giochi in totale 9 volte?
b) Qual è la vincita attesa quando si ferma?
Vorrei qualche conferma sul metodo che ho usato per risolvere il problema.
Sul primo punto, ho pensato che se il giocatore vince 4 volte in 9 tentativi significa che sicuramente vince al 9° tentativo, infatti nel testo del problema c'è scritto che continua a scommettere finché non vince 4 volte.
Allora ho calcolato la probabilità di vincere 3 volte nei primi 8 tentativi e moltiplicare questa per la probabilità di vincere all'ultimo tentativo. Per vincere col rosso c'è una probabilità di $\frac{9}{19}$.
$P \,=\, \binom{8}{3} \cdot (\frac{9}{19})^{3} \cdot (\frac{10}{19})^{5} \cdot \frac{9}{19}$
$P \,=\, \binom{8}{3} \cdot (\frac{9}{19})^{4} \cdot (\frac{10}{19})^{5}$
Per calcolare il secondo punto, se chiamo $X$ il numerodi scommesse fatte e $X-4$ le scommesse perse il guadagno vale: $20 - 5\cdot (X-4) \,=\, 40 - 5X$.
Arrivato a questo punto come calcolo la vincita attesa?
