È data la parabola $y=\frac12 ×^2 -4×+\frac{19}{2}$
Calcola l'area del segmento parabolico individuato dalla parabola e dalla retta di equazione $x-y-1=0$
Soluzione
Calcoliamo l'intersezione tra parabola e retta per trovare i due punti in cui si intersecano:
$\begin{cases} y=\frac12 ×^2 -4×+\frac{19}{2} \\ x-y-1=0 \end{cases} $
$\begin{cases} y=\frac12 ×^2 -4×+\frac{19}{2} \\ x-\frac12x^2+4x-\frac{19}{2}-1=0 \end{cases} $
Risolviamo l'equazione di secondo grado che abbiamo trovato:
$x-\frac12x^2+4x-\frac{19}{2}-1=0$
$\frac{2x-x^2+8x-19-2}{2} = 0 $
$-x^2 +10x -21 = 0 $
$x^2-10x+21 = 0$
$x_{1,2} = \frac{10\pm \sqrt{100-84}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2} $
da cui $x_{1} = 7$, $x_2 = 3$
Troviamo i corrispondenti valori di $y$ usando $x-y-1 = 0 \ \rightarrow y = x-1$
$y_1 = 7-1 = 6$
$y_2 = 3-1 = 2$
Dunque i punti di intersezione tra retta e parabola sono $B = (7; 6)$ e $A = (3; 2)$
Per calcolare l'area del segmento parabolico usiamo la formula:
$Area = \frac16 a(x_B-x_A)^3 $
dove $a$ è il coefficiente di $x^2$ dell'equazione della parabola.
quindi:
$area = \frac16 1(7-3)^3 = \frac16 64 = \frac{32}{3}$
•Determina l'equazione della parabola che passa per i punti A(-3;1) B(7;-1) e che ha per asse di simmetria la retta y=5/4
Soluzione:
L'equazione della parabola generica è $y = ax^2+bx+c$, quindi abbiamo 3 valori incogniti e ci servono quindi tre equazioni per determinarli.
Due equazioni sono l'imposizione del passaggio per i due punti $A$ e $B$ (sostituendo i valori delle loro coordinate nell'equazione generica della parabola) mentre la terza è l'asse di simmetria, che ha forma generale $y = -\frac{b}{2a}$.
$\begin{cases}
1 = a(-3)^2+b(-3)+c \\ -1 = a(7)^2 +b(7) +c \\ -\frac{b}{2a} = \frac54 \end{cases}
\begin{cases} 1 = 9a -3b+c \\ -1 = 49a +7b +c \\ -\frac{b}{2a} = frac54 \end{cases}
\begin{cases} c = 1-9a+3b \\ -1 = 49a+7b+1-9a+3b \\ -\frac{b}{2a} = frac54 \end{cases}
\begin{cases} c = 1-9a+3b \\ b = \frac{-2-40a}{10} \\ -\frac{b}{2a} = frac54 \end{cases}
\begin{cases} c = 1-9a+3b \\ b = \frac{-2-40a}{10} \\ -\frac{-2-40a}{20a} = frac54 \end{cases}
.... conti...
\begin{cases} c = \frac{16}{5} \\ b = \frac13 \\ a = -\frac{2}{15} \end{cases}$
da cui la parabola risulta:
$ y = -\frac{2}{15} x^2 + \frac13 x + \frac{16}{5} $
•Dopo aver studiato il seguente fascio di parabole $ y=(1+k)x^2 + 2(1+k)× +2 $ determina i valori di k corrispondenti alle parabole
1) passanti per p(1; 5)
Soluzione:
Per imporre che la parabola passi per il punto $P(1;5)$ dobbiamo sostituire le coordinate del punto nell'equazione del fascio:
$ 5=(1+k)1^2 + 2(1+k)1 +2$
$5 = 1+k + 2+2k +2 $
$-3k = 4-5$
$-3k = -1$
$k = \frac13$
b) con vertice di ordinata $-1$
Soluzione:
Il vertice deve avere ordinata $-1$, ma l'ordinata del vertice ha formula
$y_V = -\frac{\Delta}{4a}$
quindi: $-1 = -\frac{\Delta}{4a}$
$ 1 = \frac{\Delta}{4a}$
$\Delta = 4a \ \rightarrow b^2-4ac = 4a$
sostituiamo i valori di $a,b,c$ nella formula che abbiamo ottenuto.
Dato che il fascio è $y=(1+k)x^2 + 2(1+k)× +2$
$a = 1+k$
$b = 2(1+k)$
$c = 2$
e quindi $4(1+k)^2 - 4(1+k)(2) = 4(1+k)$
$k^2-k-2 = 0$
$(k-2)(k+1)=0$
$k = 2$ e $k = -1$
