[Risolto] Esercizi parabola. Aiutatemi per favore...é urgente

Esercizio 1: Soluzione
$F(1;2)$, $y =3$ direttrice

Le coordinate del fuoco sono date da $ (-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta}{4a})$ e
$y =- \frac{1-\Delta}{4a}$ è la direttrice

Allora:
$\begin{cases}
-\frac{b}{2a} = 1 \\ \frac{1-\Delta}{4a} = 2 \\ - \frac{1+\Delta}{4a} = 3 \end{cases}$

$\begin{cases}
b = -2a \\ \frac{1-(-2a)^2+4ac}{4a} = 2 \\ -\frac{ 1+(-2a)^2-4ac}{4a} = 3 \end{cases}$

$\begin{cases}
b = -2a \\ 4ac = 8a -1+ 4a^2 \\ -1-4a^2 -8a+1-4a^2 = 12 a \end{cases} $

$\begin{cases}
b = -2a \\ 4ac = 8a -1+ 4a^2 \\ 8a^2 +20 = 0 \end{cases} $

$\begin{cases}
b = -2a \\ 4ac = 8a -1+ 4a^2 \\ a(8a +20) =0 \end{cases}$

abbiamo due valori di $a$: $a = 0$ (impossibile, altrimenti non sarebbe una parabola)
$a = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} $
Dalla seconda equazione possiamo ricavare $c$:
$-10 c = -20 -1+25 \ \rightarrow c = -\frac{4}{10} = - \frac25 $
Dalla prima equazione ricaviamo $b$: $b = 5$

Da cui: $y = -\frac52 x^2 +5x -\frac25$

Esercizio 2: Sono date le seguenti equazioni di una parabola e di due rette.
Determina l'intersezione di ciascuna retta con la parabola e disegnane il grafico
$y= x^2-4×+2 $

$y=x-5 $

$y=-4×+6$

Soluzione:

Per determinare l'intersezione di una retta con una parabola mettiamo a sistema le due equazioni:

$\begin{cases} y = x-5 \\ y= x^2-4x+2 \end{cases}$ 

$\begin{cases} y = x-5 \\ x-5= x^2-4x+2 \end{cases}$

Risolviamo la seconda equazione di secondo grado: $ x^2-5x +7 = 0$

$\Delta = 25-4(1)(7) < 0 $ $\Rightarrow$ non ci sono intersezioni perché l'equazione di secondo grado non è risolubile.

$\begin{cases} y=-4×+6 \\ y= x^2-4x+2 \end{cases}$ 

$\begin{cases} y=-4×+6 \\ -4×+6= x^2-4x+2 \end{cases}$ 

Risolviamo la seconda equazione di secondo grado: $x^2 -4 = 0$ 

che ci dà le due soluzioni $x = 2$ e $x= -2$. Cerchiamo i corrispondenti punti $y$:

$y = -4(2)+6 = -2$
$y = -4(-2)+6 = 14$

quindi i punti di intersezione sono $(2;-2)$, $(-2,14)$

Esercizio 3:

Scrivi l'equazione della parabola Di vertice (3/4 ;0)  e direttrice y=1/4 poi rappresentala graficamente 

Soluzione:

Come con l'esercizio 1, ma con la formula del vertice: $(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a})$

$\begin{cases} -\frac{b}{2a} = \frac34 \\ -\frac{\Delta}{4a} = 0 \\ - \frac{1-\Delta}{4a} = \frac14 \end{cases} $

otteniamo 

$\begin{cases} b = -\frac32 \\ a = 1 \\ c = \frac{9}{16} \end{cases} $

quindi la parabola è $y = x^2 -\frac32 x +\frac{9}{16} $