Data la parabola di equazione $y=k x^{2}-2(k+1) x+k-2$, determina per quali valori del parametro k:
a. passa per il punto $P(-2,1) ;$
b. non interseca l'asse $x$ in alcun punto. $\left[\begin{array}{l} \left.\text { a. } k=-\frac{1}{9} ; \text { b. } k<-\frac{1}{4}\right]\end{array}\right.$
27
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Livello 0
Il fascio di parabole
* Γ(k) ≡ y = k*x^2 - 2*(k + 1)*x + k - 2
presenta tre casi particolari
* Γ(- 1) ≡ y = - x^2 - 3
* Γ(0) ≡ y = - 2*x - 2
* Γ(2) ≡ y = 2*x^2 - 2*(2 + 1)*x
e il caso generico, espresso in funzione delle coordinate del vertice V(xV, yV)
* Γ(k) ≡ y = k*(x - (k + 1)/k)^2 - (4*k + 1)/k
dove
* xV = (k + 1)/k
* yV = - (4*k + 1)/k
e l'apertura è k != 0.
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La curva passa per il punto P(u, v) se e solo se è vero il vincolo
* v = k*(u - (k + 1)/k)^2 - (4*k + 1)/k ≡ k = (2*(u + 1) + v)/(u - 1)^2
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La curva passa per il punto P(- 2, 1) se e solo se
* k = (2*(- 2 + 1) + 1)/(- 2 - 1)^2 = - 1/9
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La curva non interseca l'asse x in alcun punto se e solo se l'apertura e l'ordinata del vertice sono concordi, cioè se il loro prodotto è positivo
* k*yV = - k*(4*k + 1)/k > 0 ≡ k < - 1/4
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Genius I
Qui c'era una seconda copia della mia risposta.
Da dove fosse spuntata fuori è un mistero da chiedere al vostro reparto software.
Grazie dell'attenzione.
51580
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Genius I
y =
kx^2-2(k+1)x+k-2
a) Passa per P(-2,1)
Sostituiamo le coordinate di P nell'equazione del fascio e determiniamo il valore di k che rende vera l'equazione.
1 = 4k-2(k+1)(-2)+k-2
k = - 1/9
b) La parabole che non intersecano l'asse delle x.
L'asse delle x ha equazione y = 0 quindi vogliamo conoscere per quali valori di k il trinomio risulta diverso da zero,
kx^2-2(k+1)x+k-2 ≠ 0
il che è vero se e solo se il discriminante è negativo
Δ < 0
b²-4ac < 0 (a,b,c sono riferimenti all'equazione in formato standard della parabola)
(-2k-2)²-4k(k-2) < 0
16k+4 < 0
k < -1/4
1540
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Livello 1
