[Risolto] I modelli matematici per l'epidemiologia

Cara MariaGiulia, anzitutto benvenuta!
Hai già letto il
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito? Se no, leggilo! Può esserti utile.
Venendo alla domanda, temo che ti siano rimaste nella tastiera un bel po' di specificazioni che, non essendo nel testo dell'esercizio, tu non hai ritenuto di trascrivere; ma il contesto del tema è essenziale ().
Comincio dal fondo.
------------------------------
"Quali sono i limiti del modello esponenziale?"
Nel quesito c'è una petizione di principio nel dare per vero che l'interpolazione esponenziale costituisca un modello epidemiologico: CIO' E' FALSO.
Quindi il "modello esponenziale", non esistendo, è privo di limiti (a meno di non voler considerare tale la non esistenza!).
------------------------------
Aggiungo qualche specificazione non trascritta.
* Si vuole un modello a tempo discreto con "un giorno" d'intervallo.
* Il numero dei suscettibili (S) è illimitato.
* Il numero dei rimossi (R) è sempre zero: nessun infetto muore né guarisce.
* Ogni infetto diventa Infettivo (I) il giorno successivo all'infezione e infetta tre suscettibili sia quel giorno stesso che in ciascun giorno successivo.
* Il giorno zero le popolazioni (S, I, R) sono (∞, 1, 0).
---------------
Quindi interessa modellare la sola popolazione I.
Con
* k = indice del giorno
* a(k) = numero d'infetti nel k-mo giorno
* a(0) = 1 = numero d'infetti nel giorno zero
si ha
* a(k + 1) = a(k) + 3*a(k) = 4*a(k)
perché ogni infetto di oggi non solo resta infetto lui anche domani, ma ne infetta altri tre.
---------------
La definizione ricorsiva
* (a(0) = 1) & (a(k + 1) = 4*a(k))
ha anche la forma chiusa
* a(k) = 4^k
da cui il richiesto valore "dopo 4 giorni" che è
* a(4) = 4^4 = 256
---------------
NOTA
La "petitio principii" (o "risposta con la premessa") è quel ragionamento FALLACE in cui si dà per vera, anche solo implicitamente, nelle premesse qualcosa che invece è tutta da dimostrare.

x(t) = C e^(kt)   con C = x(0) = 1 e   k = 3

x(4) = C e^(3t) = 1*e^12 = 162755

non é realistico : il modello esponenziale é applicabile solo alle prime fasi dell'epidemia;

poi subentrano  delle curve differenti

https://aulascienze.scuola.zanichelli.it/come-te-lo-spiego/2020/03/19/la-diffusione-del-contagio-nelle-epidemie-un-modello-matematico/