Errore principio di induzione

Question

Dimostrare per induzione che, per ogni n: ge 1$, il numero  alpha (n)=n^3+5n è divisibile per $6$. Ecco il mio svolgimento. Passo base: n=1$ $1^3+5(1)=6$ OK Passo induttivo: Ipotesi: k^3+5k=6p, k,p  in  mathbb {N} Tesi: $(k+1)^3+5(k+1)=6q, q  in  mathbb {N} Svolgendo i calcoli si ottiene k^3+3k^2+3k+1+5k+5$ Per ipotesi induttiva: $6p+3k^2+3k+6=6p Da qui non riesco ad andare avanti, come faccio? Ho provato a dimostrare di nuovo per induzione la divisibilità per 6 di $3k^2+3k+6$ ma per n=1$ viene $9$ che non è divisibile per $6$.  Dove sbaglio? Grazie in anticipo

exProf · Accepted Answer

NON CREDO SIA UN "Errore principio di induzione", ma uno di sovrainterpretazione, come rivelata dalla frase "Ho provato a dimostrare ... la divisibilità ...".
La richiesta del testo è di dimostrare una molteplicità (semplice) e non una divisibilità (complesso).
Hai capito anche quello che il testo non dice: IL TROPPO STROPPIA.
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Si tratta di dimostrare che i termini della successione {a(k)} di termine generico
* a(k) = k^3 + 5*k
sono multipli di sei per ogni indice positivo.
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Verificato un caso base
* a(1) = 1^3 + 5*1 = 6
si tratta di dimostrare induttivamente che, con (m, m') naturali,
* a(k) = 6*m → a(k + 1) = 6*m'
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Sviluppando si ha
* a(k + 1) = (k + 1)^3 + 5*(k + 1) =
= (k^3 + 3*k^2 + 3*k + 1) + (5*k + 5*1) =
= (k^3 + 5*k) + 3*k^2 + 3*k + 1 + 5 =
= (6*m) + 3*(k^2 + k + 2) =
= (6*m) + 3*(k*(k + 1) + 2) =
= (6*m) + 6*(k*(k + 1)/2 + 1) =
= 6*(m + 1 + k*(k + 1)/2)
perché è pari il prodotto fra due naturali consecutivi.

exProf

(@exprof)

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05/06/2021 18:52

[Risolto] Errore principio di induzione

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