[Risolto] Equazione dell'ellisse

l'equazione dell'ellisse di centro O(0;0) e fuochi F e F' posti sugli assi cartesiani è:

x²/a²+y²/b²=1

le coordinate dei vertici sono

A1(-a;0) A2(a;0) B1(0;-b) B2(0;b)

da questo ricavi che

a²=10

 

l'equazione diventa

x²/10+y²/b²=1

 

per trovare b metti a sistema ellisse e retta

x²/10+y²/b²=1

y= 6x - 20

 

x²b²+10y²=10b²

y= 6x - 20

 

hai

x²b²+10(6x-20)² = 10b²

x²b²+10(36x²-240x+400) = 10b²

x²b²+360x²-2400x+4000-10b²=0

x²(b²+360)-2400x+4000-10b²=0

poni la condizione di tangenza Δ=0

2400²-4(4000-10b²)(b²+360)=0

ricavi

b²=0 non accettabile

b²=40

 

l'equazione diventa

x²/10+y²/40=1

@mark1

Ciao e benvenuto. Prova con il seguente procedimento e poi mi fai sapere.

Metti a sistema l’equazione dell’ellisse centrata in O(0,0) con la retta data.

Procedi inserendo a^2=10. Ti rimane da determinare b.

Sostituisci in tale equazione y con  6x-20. Ti riporti ad una equazione di secondo grado in x nel parametro b. In tale equazione imponi la condizione di tangenza annullando il suo discriminante. Ottieni quindi b e puoi scrivere l’equazione richiesta. Fammi sapere poi. Buonanotte.

Buongiorno. Ti allego grafico e punto di tangenza B(3,-2) visto che tutta la risoluzione è già stata fatta dall’altro responsore.

 

 

 

 

Gesù, Giuseppe, Sant'Anna e Maria!
A mezzanotte avevo preparato la risposta qui di seguito, poi m'è venuto sonno prima delle rifiniture da pubblicazione. A mezzogiorno, dopo che l'ho ripulita, faccio un refresh e trovo che due responsori di tutta fiducia danno numeri con cui i miei non hanno alcuna parentela.
Mi appello @pigrec e @LucianoP affinché mi facciano la cortesia di segnalarmi il locus dove, anche stavolta, m'ha colpito il rimbambimento: io non lo trovo (ma, appunto, io sono il rimbambito!).
Grazie
PS: WolframAlpha dà per tangenti sia la vostra ellisse che la mia.
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LA DOMANDA AL SINGOLARE E' INDECIDIBILE.
Di ellissi che soddisfacciano a quelle due sole condizioni ce ne sono infinite.
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Se invece tu con la frase "equazione dell'ellisse" intendi
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
commetti un errore di omissione grave (da lapis blu!): quell'equazione si chiama "equazione dell'ellisse RIFERITA AI PROPRII ASSI" e quelle quattro parole rendono il problema ben determinato e a volte unica la risposta (ma, al peggio, duplice).
La condizione di tangenza pone un vincolo sul sistema
* (y = 6*x - 20) & ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1)
la cui risolvente
* (x/a)^2 + ((6*x - 20)/b)^2 - 1 = 0
ha discriminante
* Δ = ((2/(a*b))^2)*(36*a^2 + b^2 - 400)
che dev'essere zero; cioè (senza doppio segno: è una lunghezza!)
* b = 2*√(100 - 9*a^2)
L'altra condizione [V(√10, 0)] dovrebbe distinguere l'una dall'altra le due possibilità
* (a, b) = (√10, 20)
* (a, b) = (√(65/6), √10)
e lo fa in quanto
* Γ1 ≡ (x/√10)^2 + (y/20)^2 = 1 (secante in S1(0, - 20) ed S2(60/19, - 20/19))
* Γ2 ≡ (x/√(65/6))^2 + (y/√10)^2 = 1 (tangente in T(13/4, - 1/2))
non sono entrambe plausibili, vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D6*x-20%2C%28x%2F%E2%88%9A10%29%5E2%3D1-%28y%2F20%29%5E2%2C%28x%2F%E2%88%9A%2865%2F6%29%29%5E2%3D1-%28y%2F%E2%88%9A10%29%5E2%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D6*x-20%2C%28x%2F%E2%88%9A%2865%2F6%29%29%5E2%3D1-%28y%2F%E2%88%9A10%29%5E2%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D6*x-20%2C%28x%2F%E2%88%9A10%29%5E2%3D1-%28y%2F20%29%5E2%5D