[Risolto] Tangenti a due circonferenze

Ciao. Rispondo alla tua domanda:

"Come posso invece garantire che la retta sia tangente ad entrambe?"

Trovi il punto di intersezione della prima retta tangente, cioè quella data tramite sistema:

{retta tangente data

{ retta passante per i centri delle due circonferenze

Dal punto così trovato, metti a sistema la generica retta del fascio proprio con una qualsiasi delle due circonferenze, ad esempio con la seconda e procedi come sai per il calcolo delle due tangenti.

Trovi la tangente data, ma soprattutto l'altra che stavi cercando.

Traduciamo in calcolo quanto ti ho detto

(x - 3)^2 + (y - 7)^2 = 10   ------> C1(3,7)

(x - 8)^2 + (y - 2)^2 = 40   ----> C2(8,2)

(y - 7)/(x - 3) = (2 - 7)/(8 - 3)-------> y = 10 - x

Quindi:

{y = 10 - x

{y = - 3·x + 6

Risolvi: [x = -2 ∧ y = 12]

Metti a sistema:

{y - 12 = m·(x + 2)

{(x - 8)^2 + (y - 2)^2 = 40

procedi con la sostituzione:

y = m·x + 2·m + 12 nella seconda:

(x - 8)^2 + ((m·x + 2·m + 12) - 2)^2 = 40

Ti fai un po' di calcoli ed arrivi a scrivere:

x^2·(m^2 + 1) + 4·x·(m^2 + 5·m - 4) + 4·m^2 + 40·m + 124 = 0

Imponi la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(2·(m^2 + 5·m - 4))^2 - (m^2 + 1)·(4·m^2 + 40·m + 124) = 0

che risolvi con tanta pazienza ottenendo:

3·m^2 + 10·m + 3 = 0

da cui le soluzioni:  m = - 1/3 ∨ m = -3

la prima fornisce l'altra tangente richiesta:

y = (- 1/3)·x + 2·(- 1/3) + 12------->y = 34/3 - x/3

l'altra fornisce quella che già conosci: y = 6 - 3·x

 

 

 

Osserviamo che la retta che unisce i centri delle due circonferenze è una retta bisettrice tra le due rette tangenti. 

• Centri delle due circonferenze c₁, c₂ e retta centrale r:

C₁ = (3,7)

C₂ = (8,2)

r: usiamo la formula della retta passante per due punti si ottiene x+y=10

 

• Coordinate punto P intersezione retta tangente data e retta centrale.

Risolviamo il sistema composto dalla due rette. La soluzione è x=-2 ; y=12 

P(-2,12)

 

• Calcoliamo le coordinate del punto F punto di tangenza di C₁ con la retta tangente data

Risolviamo il sistema retta tangente y=-3x+6 e circonferenza C₁. Una soluzione con l'ascissa minore ci da le coordinate di F.

F(0,6)

 

• Distanza d tra F e P ed equazione della circonferenza γ di centro P e raggio d

d = √((xF-xP)²+(yF-yP)²) = √((2)²+(6-12)²) = 2√10

γ: (x+2)²+(y-12)² = 40

 

• Calcoliamo le coordinate del punto C intersecando le circonferenza C₁ e γ.

Una soluzione ci da le coordinate di C e l'altra quella di F e ci servirà come verifica

i) prima soluzione x=0 & y=6 sono le coordinate di F. Verifica OK.

ii) seconda soluzione x=4 & y=10 per cui C(4,10) 

 

• Equazione seconda tangente t:

E' la retta passante per P e per C cioè

(y-yC)/(yP-yC) = (x-xC)/(xP-xC) 

la cui espressione è t: x+3y=34

 

• Coordinate punto D e verifica della tangenze

Le coordinate del punto D si ottengono intersecando la retta tangente t: e la circonferenza C₂

{x+3y=34

{ (x-8)^2+(y-2)^2=40

La cui unica soluzione è D(10,8)

Verifica. La soluzione è unica quindi due soluzioni sono coincidenti.

 

https://www.desmos.com/calculator/rbxtopb28m

 

Avresti vita più facile se, prima di pensare ai metodi algebrici, riflettessi sulle
PROPRIETA' GEOMETRICHE
Il numero di tangenti comuni a due circonferenze Γ1 e Γ2 dipende dalle loro posizioni
* una interna all'altra: ZERO;
* tangenti interne: UNA;
* secanti: DUE;
* tangenti esterne: TRE;
* esterne: QUATTRO;
Se sono più d'una, esclusa quella nell'eventuale punto di tangenza fra Γ1 e Γ2, per simmetria s'intersecano (al finito o all'infinito) sull'asse centrale che ne è bisettrice (d'angolo o di striscia) cioè ne è asse di simmetria.
IN QUEST'ESERCIZIO
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Γ1 e Γ2 sono secanti in (2, 4) e (6, 8).
L'asse centrale è la congiungente (3, 7) con (8, 2): y = 10 - x.
"una delle due tangenti comuni ha formula y=-3x+6": t1 ≡ y = 6 - 3*x.
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A) Calcolare t2 per simmetria assiale di t1 attorno a "y = 10 - x".
La simmetria assiale attorno a "y = m*x + q" ha equazioni
* (X = ((1 - m^2)*x + 2*m*y - 2*m*q)/(1 + m^2)) &
& (Y = (2*m*x - (1 - m^2)*y + 2*q)/(1 + m^2))
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Con
* (m, q) = (- 1, 10)
si ha
* (X = 10 - y) & (Y = 10 - x)
quindi
* t2 ≡ 10 - x = 6 - 3*(10 - y) ≡ y = (34 - x)/3
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B) se proprio ci tieni, che ti manca per calcolare il tuo P? Un bel nientino!
* (y = 10 - x) & (y = 6 - 3*x) ≡ P(- 2, 12)