[Risolto] Fasci di circonferenze

Metodo d'elezione per risolvere problemi di geometria è riflettere sulle
PROPRIETA' GEOMETRICHE
in questo caso della circonferenza
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
che sono: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
Γ passa per l'origine se e solo se il raggio r è il raggio vettore del centro
* q = a^2 + b^2
Γ ha il centro di ascissa k se e solo se, con asse centrale
* y = m*x + h
il centro è C(k, m*k + h)
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NEL CASO IN ESAME
Le circonferenze del fascio
* Γ(u, v) ≡ u*Γ1 + v*Γ2
dove
* Γ1 ≡ x^2 + y^2 - 9 = 0 ≡ x^2 + y^2 = 3^2
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 + 4*x - 2*y - 18 = 0 ≡ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (√23)^2
hanno l'equazione generica
* Γ(u, v) ≡ (u + v)*(x + 2*v/(u + v))^2 - 4*v^2/(u + v) + (u + v)*(y - v/(u + v))^2 - v^2/(u + v) - 9*(u + 2*v) = 0 ≡
≡ (x + 2*v/(u + v))^2 + (y - v/(u + v))^2 = (9*u^2 + 27*u*v + 23*v^2)/(u + v)^2
con
* centro C(- 2*v/(u + v), v/(u + v))
* asse centrale y = - x/2
* raggio r = √((9*u^2 + 27*u*v + 23*v^2)/(u + v)^2)
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RISPOSTE AI QUESITI
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Γ passa per l'origine se e solo se il raggio r è il raggio vettore del centro
* q = a^2 + b^2 ≡
≡ (9*u^2 + 27*u*v + 23*v^2)/(u + v)^2 = (- 2*v/(u + v))^2 + (v/(u + v))^2 ≡
≡ (u = - 2*v) & (v != 0)
* Γ(- 2*v, v) ≡ (x + 2*v/(- 2*v + v))^2 + (y - v/(- 2*v + v))^2 = (9*(- 2*v)^2 + 27*(- 2*v)*v + 23*v^2)/(- 2*v + v)^2 ≡
≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5
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Γ ha il centro di ascissa 1 se e solo se, con asse centrale
* y = - x/2
il centro è C(1, - 1/2)
* (- 2*v/(u + v) = 1) & (v/(u + v) = - 1/2) ≡ u = - 3*v
* Γ(- 3*v, v) ≡ (x + 2*v/(- 3*v + v))^2 + (y - v/(- 3*v + v))^2 = (9*(- 3*v)^2 + 27*(- 3*v)*v + 23*v^2)/(- 3*v + v)^2 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = 23/4
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Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y*%28x-1%29%3D0%2C%28x-2%29%5E2--%28y--1%29%5E2%3D5%2C%28x-1%29%5E2--%28y--1%2F2%29%5E2%3D23%2F4%5D

@mirea00

Di nuovo. Non devi fare riferimento alla circonferenza che ottieni tu:

x^2·(k + 1) + y^2·(k + 1) + 4·x - 2·y - 9·k - 18 = 0

ma devi fare sempre riferimento alla circonferenza di equazione implicita:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

perché è da questa equazione che puoi leggere tutte le informazioni contenute nei coefficienti a,b,c.

Quindi sei costretta a dividere per (k+1):

x^2 + y^2 + 4·x/(k + 1) - 2·y/(k + 1) - 9·(k + 2)/(k + 1) = 0

Stai attenta amica!