Dubbio esercizio relazione ricorsiva lineare omogenea

Question

Data la relazione ricorsiva lineare omogenea, per n ge 3$, a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}-12a_{n-3} con condizioni iniziali a_0=2$, a_1=5$ e a_2=13$, calcolare, se esiste, una formula chiusa per a_n. Svolgimento: Equazione caratteristica: x^3-3x^2-4x+12=0$ $(x^2-4)(x-3)=0$ x_1=2, x_2=-2, x_3=3$ a_n=A . (2)^n+B(-2)^n+C(3)^n. Ecco come l'ho svolto. E' la prima volta però che mi viene chiesto per n ge 3$, che cosa significa? Che le soluzioni devono essere maggiori o uguali di 3 quindi in questo caso solo l'ultima radice è accettabile? O è tutto corretto? Non ne ho idea sinceramente 🤔  Grazie in anticipo

LucianoP · Accepted Answer

@iloveyou n ≥ 3 perché si parte da a(0) e quindi non avresti potuto scrivere la relazione ricorsiva iniziale: a(3)=3*a(2)+4*a(1)-12*a(0) Quindi il procedimento tuo è corretto! Devi solo verificare se esiste, con quanto hai ottenuto una successione equivalente a quella di sopra. Tu sei arrivato a scrivere: a*2^n+b*(-2)^n+c*3^n Quindi devi scrivere: n=0------->a(0)=2----->{a·2^0 + b·(-2)^0 + c·3^0=2 n=1------->a(1)=5----->{a·2^1 + b·(-2)^1 + c·3^1=5 n=2-------->a(2)=13---->{a·2^2 + b·(-2)^2 + c·3^2=13 Quindi devi risolvere il sistema: {a + b + c = 2 {2·a - 2·b + 3·c = 5 {4·a + 4·b + 9·c = 13 che risolto fornisce: [a = 1 ∧ b = 0 ∧ c = 1] e quindi la relazione iniziale equivale a scrivere la successione: 1·2^n + 0·(-2)^n + 1·3^n------> a(n)=3^n + 2^n Verifica: a(0)=3^0 + 2^0----> a(0)=2 a(1)=3^1 + 2^1---->a(1)=5 a(2)=3^2 + 2^2----->a(2)=13 a(3)=3^3 + 2^3----->a(3)=35 a(4)=3^4 + 2^4------>a(4)=97 a(5)=3^5 + 2^5----->a(5)=275 ect..etc... Infatti: a(3)=3·13 + 4·5 - 12·2 = 35 a(4)=3·35 + 4·13 - 12·5 = 97 a(5)=3·97 + 4·35 - 12·13 = 275 ect..ect...

EidosM · Answer

Quella che hai trovato é la soluzione generale.

Applica le condizioni iniziali e risolvi il sistema

a(n) = A*2^n + B*(-2)*n + C*3^n

per n = 0 => A + B + C = 2

per n = 1 => 2A - 2B + 3C = 5

per n = 2 => 4A + 4B + 9C = 13

da cui A = 1, B = 0, C = 1

a(n) = 2^n + 3^n

EidosM

(@eidosm)

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06/06/2021 17:55

exProf · Answer

MA NO, COSA DICI MAI!Significa che la successione* {a(n)} ≡ (n >= 3) & (a(0) = 2) & (a(1) = 5) & (a(2) = 13) & (a(n) = 3*a(n - 1) + 4*a(n - 2) - 12*a(n - 3))s'intende definita per indici non negativi, ma generata solo per indici maggiori di due a partire dall'innesco (2, 5, 13).La generazione di {a(n)} inizia con* {2, 5, 13, 35, 97, 275, 793, 2315, 6817, 20195, ...}------------------------------Applicando ad* a(n) = 3*a(n - 1) + 4*a(n - 2) - 12*a(n - 3) ≡≡ a(n) = p*2^n + q*3^n + r*(- 2)^nle condizioni d'innesco si ha* (2 = p*2^0 + q*3^0 + r*(- 2)^0) & (5 = p*2^1 + q*3^1 + r*(- 2)^1) & (13 = p*2^2 + q*3^2 + r*(- 2)^2) ≡≡ (p + q + r = 2) & (2*p + 3*q - 2*r = 5) & (4*p + 9*q + 4*r = 13) ≡≡ (p = 1) & (q = 1) & (r = 0)da cui* a(n) = 2^n + 3^ne questa successione, che inizia con* {2, 5, 13, 35, 97, 275, 793, 2315, 6817, 20195, ...}è proprio la forma chiusa di quella definita ricorsivamente.

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