Sia $n>0$. Dimostrare per induzione la validità della formula riportata di seguito:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{1}{4}n^2\left(n+1\right)^2$.
Evito di scrivere tutto e trascrivo solo il passaggio induttivo:
$\frac{1}{4}n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^3=\frac{1}{4}\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2$.
Per dimostrare l'uguaglianza ciò che ho fatto è stato letteralmente svolgere i calcoli ed alla fine ho ottenuto:
$\frac{1}{4}n^4+\frac{3}{2}n^3+\frac{13}{4}n^2+3n+1=\frac{1}{4}n^4+\frac{3}{2}n^3+\frac{13}{4}n^2+3n+1$
quindi sono riuscito a dimostrarla.
Mi chiedevo però se un'esecuzione del genere fosse corretta. Va bene dimostrare l'uguaglianza anche così brutalmente o si dovrebbe ricorrere per forza a forme più eleganti che io non sono riuscito a cogliere con i raccoglimenti? Ci ho provato ma non ci sono riuscito, quindi alla fine ho svolto tutti i calcoli 🤔
Grazie in anticipo
