[Risolto] Equazioni parametriche

Li svolgo a rate 

7) (x-1)/(x-a) = (x-2)/(x+3)

é definita per x =/= a e x =/= -3.

Sotto tali condizioni si può scrivere 

(x-1)(x +3) = (x-2)(x-a)

x^2 + 2x - 3 = x^2 - ax - 2x + 2a

ax + 2x + 2x = 2a + 3

(a + 4) x = 2a + 3

 

per a = -4 é impossibile mentre per a =/= -4 

x = (2a + 3)/(a + 4)

ora deve essere 

 

(2a + 3)/(a + 4) =/= -3

2a + 3 =/= -3a - 12

5a =/= -15

a =/= -3 

 

e inoltre 

(2a + 3)/(a +4) =/= a

2a + 3 =/= a^2 + 4a

a^2 + 2a - 3 =/= 0

 

a =/= -3, a=/= 1

 

Conclusioni 

l'equazione é impossibile se a = -4, -3 o 1

In tutti gli altri casi é determinata e ammette l'unica soluzione x = (2 a + 3)/(a + 4)

 

8) Ricordando che   |x2 - x1| = rad(D)/A

essendo D = B^2 - 4AC = (a + 1)^2 - 4* 1 * a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2

deve essere     (x2 - x1)^2 = D/A^2

(a-1)^2 / 1 = 2^2

a - 1 = +- 2

a = - 1 V  a = 3

 

Infatti per a = -1 le radici sono x1 = -1 e x2 = 1

e per a = 3 sono x1 = 1 e x2 = 3.

 

Altro metodo 

Se la riscrivi come   x^2 - ax - x + a = 0

x(x - a) - (x - a) = 0

(x - 1)(x -a ) = 0

x1 = 1 e x2 = a 

 

|a - 1| = 2

a - 1 = +-2

a = -1 V  a = 3 come prima. 

 

9) Si hanno soluzioni quando risulta D >= 0

B^2 - 4AC >= 0

(a - 1)^2 - 4a (1 - a) >= 0

a^2 - 2a + 1 - 4a + 4a^2 >= 0

5a^2 - 6a + 1 >= 0

(5a - 1)( a - 1) >= 0

a <= 1/5 V a >= 1

 

La somma ed il prodotto delle radici sono uguali 

essendo S = -B/A = (1 - a)/a  e P = C/A = (1 - a)/a

 

Se a = 0 l'unica radice presente é positiva  - x + 1 = 0 => x = 1.

Se a é minore di 0 le radici esistono entrambe.

Somma e prodotto sono entrambi negativi => una radice negativa e una positiva.

Se 0 < a < 1/5 somma e prodotto sono positivi => due radici positive

Se infine a é maggiore di 1 somma e prodotto sono negativi => una radice negativa e una positiva

Se a = 1 le radici sono entrambe nulle.

 

10)  Ricordando che x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1 x2 = (-B/A)^2 - 2 C/A =

= (B^2 - 2AC)/A^2 = B^2 - 2C perché A = 1, 

risulta infine

x1^2 + x2^2  = (-a)^2 - 2(-a-1) = a^2 + 2a + 2 = a^2 + 2a + 1 + 1 = (a+1)^2 + 1 

e questa espressione é minima, con valore 1, quando a + 1 = 0 => a = -1.

 

La prossima volta distribuisci i quesiti in più post.

Ciao @paky_03_

Da regolamento: https://www.sosmatematica.it/regolamento/

2.1 È possibile chiedere UN solo esercizio per volta ed è vietata la ripubblicazione dello stesso (sia se è stato risolto, sia se non è stato risolto). I messaggi ripetuti saranno eliminati.

 

Ti invito pertanto a spezzare la tua domanda in più domande. Qui risponderò al quesito n.8:

 

Assegnata l'equazione $x^2-(a+1)x +a=0$ determinare a in modo che ammetta due radici x1 e x2 tali che $x_1 - x_2 = 2$ 

Ti ricordo che la somma delle soluzioni di un'equazione del tipo $ax^2 + bx +c =0$ si può calcolare a partire dai coefficienti come:

$ x_1 + x_2 = -b/a$

mentre il prodotto è:

$ x_1 x_2 = c/a$

 

In questo caso, dunque possiamo scrivere che:

{$x_1 + x_2 = (a+1)$

{$x_1 x_2 = a$

{$x_1 - x_2 = 2$

che è un sistema a tre incognite e tre equazioni.

Dalla terza ricaviamo che $x_1 = x_2 + 2$, che possiamo sostituire nelle prime due:

{$x_2 + 2  + x_2 = (a+1)$

{$(x_2+2) x_2 = a$

{$x_1 = x_2 + 2$

 

Dalla prima otteniamo allora che:

$2x_2 = a+1-2$

$2x_2 = a-1$

$x_2 = \frac{a-1}{2}$

Che sostituita nella seconda diventa:

$(\frac{a-1}{2} +2 ) \frac{a-1}{2} = a$

$ \frac{a^2-2a+1}{4} + a-1 = a$

$a^2 -2a +1 +4a-4 = 4a$

$a^2 -2a -3 = 0$

da cui, risolvendo l'equazione:

$a=-1$ o $a=3$

 

Noemi

Sembrano a te "4 esercizi", ma in effetti sono quattro diverse istanze di un solo quesito «Caro "paky_03_" hai ben compreso come trattare un'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono funzione di un unico parametro?».
Se rispondi di sì, allora ti basta applicare ciò che hai ben compreso ai quattro casi particolari con indici da sette a dieci.
Se invece la risposta non è sì, allora ti serve chiarirti le idee fin quando non sia diventata sì.
Dal momento che pubblichi questa domanda mi sento autorizzato a supporre che tu sia ancora nel secondo stato e che abbia ancora bisogno di chiarirti le idee: e a tale scopo m'accingo a darti una mano usando i tuoi casi [7, 10] come esempi.
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Se c'è un solo parametro è bene chiamarlo k e riservare i nomi {a, b, c} per i coefficienti della generica
A) f(x) = a(k)*x^2 + b(k)*x + c(k) = 0
e il nome m per la pendenza del suo grafico
B) m(x) = 2*a(k)*x + b(k)
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Degli esercizi [7, 10] solo il #9 ha la forma A letterale, con tutt'e tre {a, b, c} parametrici; il #8 e il #10 ne hanno la forma monica, con a(k) = 1; il #7 ha una forma che si riduce alla A solo imponendo condizioni restrittive.
7) (x - 1)/(x - k) = (x - 2)/(x + 3) ≡
≡ ((x - 1)*(x + 3) - (x - 2)*(x - k) = 0) & (x != - 3) & (x != k) ≡
≡ ((k + 4)*x - (2*k + 3) = 0) & (x != - 3) & (x != k)
che è la A, ma con a(k) = 0: quindi calata di grado.
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C) In relazione al coefficiente direttore a(k), dal quale deve iniziare l'esame, si distinguono diversi casi.
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C1) Se a(k) è effettivamente parametrica si deve esaminare anzitutto il caso a(k) = 0
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9) (k*x^2 + (k - 1)*x + (1 - k) = 0) & (k = 0) ≡ 1 - x = 0
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C2) a(k) = 0
L'equazione è di primo grado, con l'unica radice
* x = - c(k)/b(k)
definita se e solo se b(k) != 0.
Se anche b(k) = 0 l'equazione diventa c(k) = 0 che non può essere altro che tautologia o contraddizione.
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7) (x = (2*k + 3)/(k + 4)) & (k != - 4) & (x != - 3) & (x != k)
9) (x = 1) & (k = 0)
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C3a) Se a(k) = a non è parametrica si riduce l'equazione alla forma monica dividendola per a
A1) f(x) = x^2 - s(k)*x + p(k) = 0
dove
* s(k) = - b(k)/a
* p(k) = + c(k)/a
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C3b) Se a(k) è parametrica si riduce l'equazione alla forma monica dividendola per a(k) e imponendo la condizione restrittiva "a(k) != 0" avendo già compiuto C1 e C2
A1) (f(x) = x^2 - s(k)*x + p(k) = 0) & (a(k) != 0)
dove
* s(k) = - b(k)/a(k)
* p(k) = + c(k)/a(k)
--------
9) (k*x^2 + (k - 1)*x + (1 - k) = 0) & (k != 0) ≡
≡ (x^2 + (1 - 1/k)*x + (1/k - 1) = 0) & (k != 0)
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D) Il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ(k) = s^2 − 4*p
e zeri
* X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 <= X2 (se reali)
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
Un'equazione di secondo grado in x ha radici X1 e X2 distinte se il discriminante Δ(k) è non nullo:
* X1 e X2 complesse coniugate se Δ(k) < 0
* reali se Δ(k) > 0
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D1) L'esercizio #8 pone un vincolo su una differenza delle radici e l'esercizio #10 sulla somma dei loro quadrati, che quindi conviene precalcolare fra queste formule generiche.
* d = X2 - X1 = (s + √Δ)/2 - (s - √Δ)/2 = √Δ
* - d = X1 - X2 = - √Δ
* (X1)^2 + (X2)^2 = ((s - √Δ)/2)^2 + ((s + √Δ)/2)^2 = (Δ + s^2)/2
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E) Per verificare se e quanto io sia stato efficace nel mostrarti un approccio sistematico ti lascio il piacere di applicare quanto sopra ai casi
8) x^2 - (k + 1)*x + k = 0 (NB: intendi d, non - d!)
9) (x^2 - (1/k - 1)*x + (1/k - 1) = 0) & (k != 0)
10) x^2 - k*x - (k + 1) = 0