[Risolto] Derivata, rette tangenti

@giuliaaassss

Utilizzo le proprietà geometriche della circonferenza per determinare il centro. Il raggio vettore per il punto di tangenza T sappiamo essere perpendicolare alla retta tangente la conica nel punto. 

Intersezione funzione - asse y

{x=0

{y= x³ - ln (x+1) - e^(x) 

Da cui si ricava: T= (0, 1)

Essendo il coefficiente angolare della retta tangente m= - 2, il coefficiente angolare del raggio vettore è m1= 1/2 (antireciproco) 

Quindi:

(x-xC)² + (y-yC)² = R²

(x+2)² + (y+2)² = 5

x² + y² + 4x + 4y + 3 = 0

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
In questo caso a = - 2 è dato, quindi restano da trovare i due parametri (b, q).
* Γ ≡ (x + 2)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
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Il grafico della funzione
* f(x) = y = x^3 - ln(x + 1) - e^x
con derivata
* m(x) = dy/dx = (3*x^3 + 3*x^2 - 1)/(x + 1) - e^x
interseca l'asse y in
* T(0, f(0)) = (0, - 1)
con pendenza
* m(0) = - 2
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Se la circonferenza dev'essere tangente il grafico in T(0, - 1) allora deve aver centro su una retta per T di pendenza m = - 1/m(0) = 1/2, antinversa a quella della curva, cioè su
* p ≡ y = x/2 - 1
che, per x = - 2, individua il centro C(- 2, - 2), quindi resta da trovare il solo parametro q.
* Γ ≡ (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = q = r^2
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Il raggio r è la distanza fra centro e punto di tangenza, perciò
* q = |CT|^2 = (- 2 - 0)^2 + (- 2 + 1)^2 = 5
da cui infine
* Γ ≡ (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 5 ≡
≡ x^2 + 4*x + y^2 + 4*y + 3 = 0
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%5E3-ln%28x%2B1%29-e%5Ex%2C%28x%2B2%29%5E2%2B%28y%2B2%29%5E2%3D5%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9