E' data la circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$. Determina su di essa un punto $P$ in modo che sia massima la somma dei quadrati delle sue distanze dai punti $A(2 ; 0)$ e $B(0 ; 2)$.
$$
\left[\text { se } x \text { è lascissa di } P, x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]
$$
14
punti
Livello 0
Ad occhio si vede che la somma dei quadrati richiesti si verifica quando il punto P appartiene al 3° quadrante (coordinate negative). Comunque dimostriamolo.
Dobbiamo calcolare la distanza massima data dalla funzione:
Y = ΑΡ^2 + ΒΡ^2
essendo P appartenente alla circonferenza:
x^2 + y^2 = 1
risolvendo abbiamo 2 funzioni:
y = - √(1 - x^2) ∨ y = √(1 - x^2)
Consideriamo la prima che si riferisce ad un punto P appartenente al 3° o al 4° quadrante
y = - √(1 - x^2)
[x, - √(1 - x^2)]
[2, 0]
ΑΡ^2 = (2 - x)^2 + (0 + √(1 - x^2))^2
ΑΡ^2 = (x^2 - 4·x + 4) + (1 - x^2)
ΑΡ^2 = 5 - 4·x
[x, - √(1 - x^2)]
[0, 2]
ΒΡ^2 = (0 - x)^2 + (2 + √(1 - x^2))^2
ΒΡ^2 = 4·√(1 - x^2) + 5
Quindi:
Y = ΑΡ^2 + ΒΡ^2 = (5 - 4·x) + (4·√(1 - x^2) + 5)
Y = 4·√(1 - x^2) - 4·x + 10
Svolgendo i medesimi calcoli, cioè prendendo in esame la semicirconferenza superiore si ottienE:
Y = Α·Ρ^2 + Β·Ρ^2 = - 4·√(1 - x^2) - 4·x + 10
quindi confrontando le due espressioni ci si accorge facilmente che a parità di x la prima funzione in grassetto indica una somma maggiore.
Imponendo ad essa la C.N. si ottiene:
Y'= dY/dx= - 4·x/√(1 - x^2) - 4 = 0
quindi: - 4·(√(1 - x^2) + x)/√(1 - x^2) = 0
con 1 - x^2 > 0-----> -1 < x < 1
4·(√(1 - x^2) + x) = 0
√(1 - x^2) = -x
quindi deve essere -1<x <0 per l'esistenza del radicale: quindi P è del 3° quadrante
(√(1 - x^2) = -x)^2---> 1 - x^2 = x^2
x = - √2/2 ∨ x = √2/2
a cui corrisponde una
Ymax= y = 4·√(1 - (- √2/2)^2) - 4·(- √2/2) + 10
Y max = 4·√2 + 10
77423
punti
Genius II
