Problema derivate rette tangenti

Si tratta di capire per quali valori di k l'equazione

- 2x^3 + x^2 = (k + 3)x^2 + kx

ovvero

2x^3 + (k + 2)x^2 + kx = 0

x [ 2x^2 + (k + 2) x + k ] = 0

ha una radice doppia. Ovviamente ciò accade per k = 0 e la radice doppia é x = 0

altrimenti

D = (k + 2)^2 - 4 * 2k = 0

k^2 + 4k - 8k + 4 = 0

k^2 - 4k + 4 = 0

(k - 2)^2 = 0

k = 2.

Se capita che a(xo) = b(xo) e   a'(xo) = b'(xo)

allora  d(x) = a(x) - b(x)    ha una radice doppia in xo.

Infatti a(x) - b(x) = q(x) (x - xo)

a'(x) - b'(x) = q'(x) (x - xo) + q(x)

e per x = xo

a'(xo) - b'(xo) = 0 = q'(xo) * 0 + q(xo)

per cui q(xo) = 0 => q(x) = g(x) (x - xo)

e  a(x) - b(x) = g(x) (x - xo)(x - xo)

ovvero xo é una radice doppia di a(x) - b(x).

Io, come tu dici, inizio dal sistema dei punti comuni
* (y = f(x)) & (y = g(x, k)) & (k^2 > 0) ≡
≡ (y = - 2*x^3 + x^2) & (y = (k + 3)*x^2 + k*x) & (k^2 > 0) ≡
≡ (y = (1 - 2*x)*x^2) & (y = ((k + 3)*x + k)*x) & (k^2 > 0) ≡
≡ (x = 0) & (y = 0) oppure (x = - k/2) & (y = (k^2 + k)*k/4) & (k^2 > 0)
e poi esamino le pendenze
* f'(x) = dy/dx = 2*(1 - 3*x)*x
* g'(x, k) = ∂y/∂x = 2*(k + 3)*x + k
verificando se si eguagliano nei punti comuni
* f'(0) = g'(0, k) ≡ 2*(1 - 3*0)*0 = 2*(k + 3)*0 + k ≡ 0 = k ≡ incompatibile con k^2 > 0
* f'(- k/2) = g'(- k/2, k) ≡ 2*(1 - 3*(- k/2))*(- k/2) = 2*(k + 3)*(- k/2) + k ≡
≡ (2 - k)*k/2 = 0 ≡
≡ (k = 0) oppure (k = 2) ≡
≡ (incompatibile con k^2 > 0) oppure (k = 2) ≡
≡ k = 2
che dovrebb'essere proprio il risultato atteso.