[Risolto] Continuità e derivabilità di una funzione

Ciao,

poiché $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\sin \sqrt{x}=0=f\left( 0 \right)$ la funzione è continua $x=0$ e quindi in tutto $\mathbb{R}$ , se e solo se anche $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{a/x}}=0$ e questo è vero se e solo se $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{x}=-\infty$, cioè se e solo se $a>0$.

In tal caso, la funzione è anche derivabile in $x=0$, e quindi in tutto $\mathbb{R}$, essendo:

$$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sin \sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}\cos \sqrt{x} \right)=0=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{a{{e}^{\frac{a}{x}}}}{{{x}^{2}}} \right)$$

dove l’ultimo limite può essere calcolato per sostituzione, ponendo $t=-\frac{a}{x}$

$$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{a{{e}^{\frac{a}{x}}}}{{{x}^{2}}} \right)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{1}{a}\frac{{{t}^{2}}}{{{e}^{t}}} \right)=-\frac{1}{a}\cdot 0=0\quad .$$

In realtà non sono convinta del limite della derivata prima

Ciao!

Le due funzioni di cui è composta questa funzione sono continue: l'esponenziale è continuo per $x \neq 0 $ (per la frazione) ma il suo intervallo di riferimento è $ x< 0 $, mentre la seconda funzione ha come condizione di esistenza $ x \leq 0 $ (per la radice) che è esattamente il suo intervallo di riferimento.

Per far sì che l'intera funzione sia continua dobbiamo verificare che sia continua nel punto in cui si toccano, nel loro punto di congiunzione, cioè $ x = 0$.

Dobbiamo quindi verificare che: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) $ (che è esattamente la definizione di continuità)

quindi: $ \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)  = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} e^{\frac{a}{x}} $

questo limita ha come risultato: $\begin{cases} 0 & a \geq 0 \\ +\infty & a < 0 \end{cases} $

ma se il limite fa $+\infty$ la continuità è impossibile, dunque dobbiamo imporre che $a \geq 0$ e che quindi il limite faccia $ 0 $.

$ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)  = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \sin (\sqrt{x}) = 0 $

quindi quando $a \geq 0$ è garantita la continuità. 

Per la derivabilità, per prima cosa calcoliamo la derivata, che si calcola facendo la derivata delle due funzioni separatamente:

$\begin{cases} e^{ \frac{a}{x} } \cdot (-\frac{a}{x^2}) & x < 0  \\ \sin(\sqrt{x}) + x \cos(\sqrt{x}) (\frac{1}{2\sqrt{x}}) & x \geq 0 \end{cases} $

lo studio della derivabilità delle singole funzioni è analogo al caso della continuità, ed è sempre verificata. Dobbiamo verifcare solo che vi sia derivabilità in $x = 0$, quindi:

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f'(x) $ (che è esattamente la definizione di derivabilità)

allora:

$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} e^{\frac{a}{x}}\cdot (-\frac{a}{x^2}) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} e^{\frac{a}{0}}\cdot (-\frac{a}{0^2}) $

che nel caso di $a > 0$ fa $+\infty$. Nel caso, invece, in cui $ a = 0$ la funzione derivata è identicamente nulla e dunque il limite non può che fare $0$.

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\sin(\sqrt{x}) + x \cos(\sqrt{x}) (\frac{1}{2\sqrt{x}}) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\sin(\sqrt{x}) + \sqrt{x} \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\sin(\sqrt{0}) + \sqrt{0} \cos(\sqrt{0}) \cdot \frac{1}{2} = 0 $

Quindi la funzione è continua e derivabile su tutto $\mathbb{R}$ solo nel caso in cui $ a = 0$.