[Risolto] Dominio di una funzione

PROCEDERO' SULLE UOVA CON PIEDI DI PIOMBO come ogni volta che mi si parla di "dominio" e/o "codominio" senza precisare l'anno di corso frequentato: scusami se ti sembrerò prolisso e magari anche noioso.
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Nei libri di Algebra del primo anno delle facoltà scientifiche "dominio" e "codominio" sono gl'insiemi numerici di partenza e d'arrivo della relazione funzionale.
Quindi la
* y = f(x) = √(log(1/3, sin(x) + cos(x)))
ha
* dominio: l'intero asse reale per la variabile x;
* codominio: l'intero piano complesso per la variabile y.
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L'insieme di definizione E di una funzione di variabile reale x, y = f(x), è ciò che resta dell'asse reale dopo averne escluso le ascisse in cui f(x) non è definita.
Il dominio D di f(x) è ciò che resta dell'insieme di definizione E dopo aver applicato tutte le condizioni restrittive imposte.
Nei casi in cui non ci siano condizioni restrittive, i due insiemi E e D coincidono; quindi è un vezzo superfluo parlare di "dominio".
Se invece le condizioni ci sono, il dominio di f(x) è l'intersezione di queste con l'insieme di definizione.
L'insieme di definizione reale Er di f(x) è ciò che resta dell'insieme di definizione E dopo aver applicato la sola condizione restrittiva "Im[f(x)] = 0".
Il dominio naturale di una funzione y = f(x) di una variabile reale è il più esteso sottinsieme dell'asse reale per cui la definizione di f(x) abbia senso.
Quindi "dominio naturale" è sinonimo di "insieme di definizione", non di "dominio".
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In quasi tutti i libri di Matematica delle superiori le suddette distinzioni terminologiche sono completamente trascurate e quasi sempre si dice "dominio" per intendere l'insieme di definizione reale.
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IO NON SO A CHE LIBRO FAI RIFERIMENTO E DEVO FARE TUTTI I PASSI (poi tu scegli!).
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A) dominio: l'intero asse reale.
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B) E = insieme di definizione ≡ dominio naturale
Le funzioni {seno, coseno, radice quadrata} sono definite ovunque.
La funzione logaritmo è definita per argomento non nullo.
Quindi dall'asse reale si devono escludere i valori per cui
* sin(x) + cos(x) = 0 ≡ x = π + 2*k*π
e resta
* E = R - {π + 2*k*π, per k in Z}
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C) D = dominio
Nella funzione proposta
* y = f(x) = √(log(1/3, sin(x) + cos(x)))
non ci sono condizioni restrittive sulla x.
Quindi
* D = E = R - {π + 2*k*π, per k in Z}
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D) Er = insieme di definizione reale
La funzione "y = f(x)" ha valori reali se e solo se il logaritmo ha argomento positivo e la radice quadrata ha argomento non negativo.
Poiché
* log(1/3, u) = - ln(u)/ln(3) >= 0 ≡ ln(u) <= 0 ≡ 0 < u <= 1
la condizione che definisce Er è
* (0 < sin(x) + cos(x) <= 1) ≡
≡ (2*k*π - π/4 < x <= 2*k*π) oppure (2*k*π + π/2 <= x < 2*k*π + (3/4)*π)
per k in Z.

La condizione di esistenza che definisce il dominio naturale di $f(x)$ è la seguente:

$${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( \sin x+\cos x \right)\ge 0\to -{{\log }_{3}}\left( \sin x+\cos x \right)\ge 0\to {{\log }_{3}}\left( \sin x+\cos x \right)\le 0$$

condizione che equivale alla disequazione goniometrica: $$0<\sin x+\cos x\le 1\quad .$$ Utilizzando l’identità $sinx+cosx=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x \right)=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)$ si perviene quindi alla condizione: $$0<\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \frac{\sqrt{2}}{2}$$ da cui: $$0+2k\pi$$