[Risolto] Come può essere risolta questa equazione trigonometrica?

Prova a usare le formule parametriche

A PARTE L'OVVIA RISPOSTA «Con pazienza e passaggi», IO LA RISOLVO COME SEGUE.
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Con
* u = tan(x/2)
* sin(x) = 2*u/(1 + u^2)
* cos(x) = (1 - u^2)/(1 + u^2)
* tan(x) = 2*u/(1 - u^2)
si ha
* "tan(x)*sqrt(2)*sin(x) + tan(x) - 1 = sqrt(2)*cos(x)" ≡
≡ tan(x)*(√2)*sin(x) + tan(x) - 1 - (√2)*cos(x) = 0 ≡
≡ (2*u/(1 - u^2))*(√2)*2*u/(1 + u^2) + (2*u/(1 - u^2)) - 1 - (√2)*(1 - u^2)/(1 + u^2) = 0 ≡
≡ (4*√2)*u^2/(1 - u^4) + 2*u/(1 - u^2) - (√2)*(1 - u^2)/(1 + u^2) = 1
che, come l'originale, è indefinita per "u = ± 1 ≡ x = ± π/2".
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Esclusi tali valori è lecito moltiplicare membro a membro per (1 - u^4) ottenendo
* (4*√2)*u^2 + 2*u(1 + u^2) - (√2)*(1 - u^2)*(1 - u^2) = (1 - u^4) ≡
≡ (4*√2)*u^2 + 2*u(1 + u^2) - (√2)*(1 - u^2)*(1 - u^2) - (1 - u^4) = 0 ≡
≡ p(u) = (1 - √2)*u^4 + 2*u^3 + (6*√2)*u^2 + 2*u - (1 + √2) = 0
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Le valutazioni {u, p(u)} per u = (± 1 ± √2) sono
* {{- 1 - √2, 0}, {- 1 + √2, 0}, {1 - √2, 32 - 24*√2}, {1 + √2, 32 + 24*√2}}
e mostrano due zeri per u = (- 1 ± √2), quindi se ne ricava
* u = tan(x/2) = - 1 - √2 ≡ x = 2*k*π - (3/4)*π
* u = tan(x/2) = - 1 + √2 ≡ x = 2*k*π + (1/4)*π
* q(u) = p(u)/((u - (- 1 - √2))*(u - (- 1 + √2))) =
= p(u)/(u^2 + 2*u - 1) =
= (1 - √2)*u^2 + (2*√2)*u + (1 + √2)
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Per trovare le altre due soluzioni, a partire da
* q(u) = (1 - √2)*u^2 + (2*√2)*u + (1 + √2) = 0 ≡
≡ u^2 + (2*√2/(1 - √2))*u + (1 + √2)/(1 - √2) = 0 ≡
≡ (u = 2 + √2 - √3 - √6) oppure (u = 2 + √2 + √3 + √6)
DOVRESTI PENSARCI DA SOLA: ho esaurito la pazienza dattilografica!
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A titolo di verifica vedi "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28tan%28x%29*%28%E2%88%9A2%29*sin%28x%29%2Btan%28x%29-1-%28%E2%88%9A2%29*cos%28x%29%3D0%29%26%280%3C%3Dx%3C2*%CF%80%29for+x+real