[Risolto] Problemi di massimo e minimo

Se poniamo h = CH = x

OH = x - r    con x >= r

AH = b/2  = rad [ OA^2 - OH^2 ] = rad (r^2 - x^2 + 2rx - r^2 ) = rad (2rx - x^2)

con x <= 2r

b = 2 rad (2rx - x^2)

L = rad [ h^2 + (b/2)^2 ] = rad [ x^2 + 2rx - x^2 ] = rad (2rx)

P = 2 rad (2rx - x^2) + 2 rad(2 rx)

P(0) = 0,   P(r) = 2r + 2 r rad 2     P(2r) = 4r

 

Derivata

2 [ (2r - 2x)/(2 rad(2rx - x^2)) + 2r/(2 rad(2rx)) ] >= 0

il denominatore é sempre positivo

r rad (2rx - x^2) >= (x - r) rad (2rx)

r^2(2rx - x^2) >= 2rx(x^2 - 2rx + r^2)

2r^3 x - r^2 x^2 >= 2rx^3 - 4r^2 x^2 + 2r^3 x

2rx^3 - 3 r^2 x^2 >= 0

2rx^2 (x - 3/2 r) >= 0

x >= 3/2 r

per x = 3/2 r si ha un minimo e il triangolo é equilatero

come puoi constatare osservando che

b = 2 rad (3r^2 - 9/4 r^2) = rad(3r^2) = r rad 3

L = rad (2r * 3/2 r) = rad (3r^2) = r rad 3

 

P* = 2 [rad(3r^2 - 9/4 r^2) + rad (3r^2) ] = 2 [ 1/2 r rad(3) + r rad 3 ] =

= 3 r rad 3

No, non è possibile. Quello equilatero ha perimetro massimo, ma nessuno ha il minimo.
La richiesta giustificazione è la seguente.
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Il triangolo isoscele non degenere di base b > 0 e lato obliquo L > 0 ha
* altezza h = √(L^2 - (b/2)^2) > 0 ≡ L > b/2 > 0
* perimetro p = b + 2*L
* area S = b*h/2 = (b/2)*√(L^2 - (b/2)^2)
* circumraggio R = b*L^2/(4*S) = L^2/√(4*L^2 - b^2)
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La funzione da minimizzare è il perimetro in unità di circumraggio
* f(b, L) = (b + 2*L)*√(4*L^2 - b^2)/L^2
* ∇f = ( 2*(b + 2*L)*(L - b)/((L^2)*√(4*L^2 - b^2)), 2*b*(b + 2*L)*(b - L)/((L^3)*√(4*L^2 - b^2)) )
* ∇f = (0, 0) ≡
≡ ((b + 2*L)*(L - b) = 0) & (b*(b + 2*L)*(b - L) = 0) & (L > b/2 > 0) ≡
≡ ((L = - b/2) oppure (L = b)) & (L > b/2 > 0) ≡
≡ L = b > 0
da cui
* f(b, b) = 3*√3
che è un massimo.
Infatti
* (b + 2*L)*√(4*L^2 - b^2)/L^2 > 3*√3 ≡
≡ √(4*L^2 - b^2) > (3*√3)*L^2/(b + 2*L) ≡
≡ (4*L^2 - b^2) > 27*L^4/(b + 2*L)^2 ≡
≡ (4*L^2 - b^2)*(b + 2*L)^2 - 27*L^4 > 0 ≡
≡ - (b^2 + 6*b*L + 11*L^2)*(b - L)^2 > 0 ≡
≡ b^2 + 6*b*L + 11*L^2 < 0 ≡
≡ (b + 3*L)^2 + 2*L^2 < 0 ≡ impossibile
QED