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[Risolto] Integrali per sostituzione

  

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Ciao a tutti, mi potreste aiutare nella risoluzione di questi integrali utilizzando il metodo della sostituzione?

$$\int{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx\quad }\quad$$

$$\int{\frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx\quad }\quad$$

$$\int{\frac{2}{\sqrt{16{{x}^{2}}+9}}dx\quad }.$$

Grazie a tutti in anticipo!

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1. Nel primo integrale procediamo con una riscrittura e una sostituzione di variabile, $t=x/\sqrt{8}$

$$\int{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx=}\sqrt{8}\int{\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{\sqrt{8}} \right)}^{2}}}dx=}8\int{\sqrt{1-{{t}^{2}}}dt}$$

quindi, posto ancora t=sinp:

$$8\int{\sqrt{1-{{t}^{2}}}dt}=8\int{{{\cos }^{2}}pdp}=4\left( p+\sin p\cos p \right)+c=4\arcsin \left( t \right)+4t\sqrt{1-{{t}^{2}}}+c$$

E infine:

$$\int{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx=}4\arcsin \left( \frac{x}{2\sqrt{2}} \right)+\frac{x\sqrt{8-{{x}^{2}}}}{2}+c\quad .$$

2. Nel secondo integrale operiamo una sostituzione “alla Eulero”: $t=3x-\sqrt{9{{x}^{2}}-1}$

$$\sqrt{9{{x}^{2}}-1}=3x-t\to 9{{x}^{2}}-1=9{{x}^{2}}-6tx+{{t}^{2}}\to x=\frac{{{t}^{2}}+1}{6t},\quad dx=\frac{{{t}^{2}}-1}{6{{t}^{2}}}dt,\quad \sqrt{9{{x}^{2}}-1}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2t}$$

e avremo:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx=}\int{\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}\frac{{{t}^{2}}-1}{6{{t}^{2}}}dt=\frac{1}{3}}\int{\frac{1}{t}dt=\frac{1}{3}}\ln \left| t \right|+c=\ln \sqrt[3]{\left| 3x-\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right|}+c\quad .$$

3. In modo analogo, nell’ultimo caso, $t=4x+\sqrt{16{{x}^{2}}+9}$, da cui:

$$\sqrt{16{{x}^{2}}+9}=t-4x\to 16{{x}^{2}}+9={{t}^{2}}-8tx+16{{x}^{2}}\to x=\frac{{{t}^{2}}-9}{8t},\quad dx=\frac{{{t}^{2}}+9}{8{{t}^{2}}}dt,\quad \sqrt{16{{x}^{2}}+9}=\frac{{{t}^{2}}+9}{2t}$$

e pertanto:

$$\int{\frac{2}{\sqrt{16{{x}^{2}}+9}}dx=}\int{\frac{4t}{{{t}^{2}}+9}\frac{{{t}^{2}}+9}{8{{t}^{2}}}dt=\frac{1}{2}}\int{\frac{1}{t}dt=\frac{1}{2}}\ln \left| t \right|+c=\ln \sqrt{\left| 4x+\sqrt{16{{x}^{2}}+9} \right|}+c\quad .$$

 

 



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