Sia:
$$\omega (x,y):=\frac{-y\space dx + x\space dy }{x^2+y^2}$$
e γ una curva chiusa semplice orientata positivamente che non passa per l’origine (0,0) e sia D è l’insieme delimitato da γ. Dimostrare che:
$$\oint{\omega (x,y)} =\frac{-y\space dx + x\space dy }{x^2+y^2}=
\begin{cases}
0 & se(0,0)\notin D \\
2\pi & se \in D
\end{cases}$$
2
punti
Livello 0
La forma differenziale assegnata, definita in $\mathbb{R^2}$ \ {(0,0)}, che non è semplicemente connesso, è chiusa essendo
$$\frac{\partial A}{\partial y} (x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\frac{\partial B}{\partial x}(x,y)$$
Quindi se (0, 0) $\notin D$ per il teorema di Gauss-Green avremo
$$\oint=\frac{-y\space dx + x\space dy }{x^2+y^2}=\iint_D \frac{\partial A}{\partial y}(x,y) -\frac{\partial B}{\partial x}(x,y) dxdy=0$$
Se invece (0, 0) $\in D$ allora il teorema di Gauss-Green non può essere applicato direttamente perché in (0, 0) la forma differenziale non è definita. Questo problema può essere evitato considerando il percorso chiuso $\gamma$ $\cup$ S− $\cup$ $\gamma_r$ $\cup$ S, dove $\gamma_r$ è una circonferenza di centro (0, 0) e raggio r sufficientemente piccolo in modo che γr ⊂ D, mentre S è un segmento che unisce $\gamma_r$ a $\gamma$. Dato che questo percorso delimita un insieme che non contiene (0,0), per quanto detto prima, si ha che:
$$0=\oint_{\gamma \cup S-\cup\gamma_r\cup S} {\omega (x,y)} =\int_\gamma {\omega (x,y)} -\int_S {\omega (x,y)}-\int_{\gamma_r} {\omega (x,y)}+\int_S {\omega (x,y)}$$
$$=\int_\gamma {\omega (x,y)} -\int_{\gamma_r} {\omega (x,y)}$$
da cui
$$=\int_\gamma {\omega (x,y)}=\int_\gamma {\omega (x,y)} $$
Quindi il calcolo dell’integrale di $\omega(x, y)$ lungo $\gamma$ è uguale al calcolo dell’integrale di $\omega(x, y)$ lungo $\gamma_r$ ossia lungo la circonferenza parametrizzata ponendo $\gamma$(t) = $(rcost,rsint)$ per t ∈ [0,2π]. Pertanto
$$\oint{\omega (x,y)} =\int_{0}^{2\pi }{\bigg(-\frac{r\space sint}{r^2}\cdot (r\space cost)'+ \frac{r\space sint}{r^2}\cdot (r\space cost)'\bigg)dt} =2\pi$$
1234
punti
Livello 2
