Si determeni l'area della regione di piano colorata in figura.
Si determini inoltre l'area della regione di piano delimitata dalla retta $y=-3$ e dalla funzione $y=\ln \sin x$
Si determeni l'area della regione di piano colorata in figura.
Si determini inoltre l'area della regione di piano delimitata dalla retta $y=-3$ e dalla funzione $y=\ln \sin x$
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Livello 6
Per ora ho capito che la primitiva non si può esprimere in funzioni elementari
che l'area equivale a -2 S_[pi/2,0] ln sin x dx che é il valore assoluto
e che una strategia promettente sarebbe basata sulla derivazione rispetto ad un parametro.
Purtroppo le funzioni speciali non le so usare bene e non credo che si possano evitare.
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Livello 7
La parte difficile del quesito era proprio l'integrale infatti, l'ho preso dal MIT 2006 Integration Bee (
,
minuto 127) . Per risolvere quegli integrali bisogna conoscere bene molte tecniche, ad esempio questa di simmetria è utilissima.
\(\displaystyle I=\int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin x\bigr)\,dx\)}
Si pone \[
I = \int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin x\bigr)\,dx.
\]
1) Sostituzione di simmetria \(x \mapsto \frac\pi2 - x\). Allora
\[
I = \int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin(\tfrac\pi2 - x)\bigr)\,dx
= \int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\cos x\bigr)\,dx.
\]
2) Sommando le due espressioni:
\[
2I
= \int_{0}^{\frac\pi2}\ln(\sin x)\,dx
+ \int_{0}^{\frac\pi2}\ln(\cos x)\,dx
= \int_{0}^{\frac\pi2}\bigl[\ln(\sin x)+\ln(\cos x)\bigr]\,dx
= \int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin x\cos x\bigr)\,dx.
\]
3) Usando \(\sin x\cos x = \tfrac12\sin(2x)\):
\[
2I
= \int_{0}^{\frac\pi2}\ln\!\bigl(\tfrac12\sin(2x)\bigr)\,dx
= \int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin(2x)\bigr)\,dx
- \int_{0}^{\frac\pi2}\ln2\,dx
= \int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin(2x)\bigr)\,dx
- \frac\pi2\ln2.
\]
4) si calcola \( \displaystyle \int_{0}^{\frac\pi2}\ln\!\bigl(\sin(2x)\bigr)\,dx\) con la sostituzione \(u = 2x\), \(du = 2\,dx\). Quando \(x=0\) allora \(u=0\); quando \(x=\tfrac\pi2\) allora \(u=\pi\). Quindi
\[
\int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin(2x)\bigr)\,dx
= \frac12\int_{0}^{\pi}\ln\bigl(\sin u\bigr)\,du.
\]
Ma per simmetria su \([0,\pi]\),
\[
\int_{0}^{\pi}\ln\bigl(\sin u\bigr)\,du
= 2\int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin u\bigr)\,du
= 2I.
\]
Ne segue
\[
\int_{0}^{\frac\pi2}\ln\bigl(\sin(2x)\bigr)\,dx
= \frac12\cdot 2I = I.
\]
5) Sostituendo in \(2I = \int_{0}^{\frac\pi2}\ln(\sin(2x))\,dx - \tfrac\pi2\ln2\) si ottiene
\[
2I = I - \frac\pi2\ln2
\quad\Longrightarrow\quad
I = -\,\frac\pi2\ln 2.
\]
Questo che dici tu lo propone Mathful.
@eidosm credo sia l'unico metodo disponibile per risalire a una primitiva tramite funzioni elementari, lo ha proposto anche il commentatore nel video che ho allegato, quindi non credo ci siano altri metodi purtroppo.