Ecco qui anche quella sugli integrali...
Dato che questa verifica è spesso l'ultima delle superiori, ho inserito nel secondo livello quesiti di alcuni esami di maturità e nel terzo livello/Jolly dei quesiti tratti da test di ingresso per le scuole d'eccellenza. Tutto è fattibile con il solo programma delle superiori come al solito e le soluzioni non richiedono molta creatività (olimpionica) per non escludere nessuno.
Spoiler
Codice LaTeX
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
% ---------------- LINGUA E FONT ----------------
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{microtype}
% ---------------- IMPAGINAZIONE ----------------
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=1.5cm}
\usepackage{setspace}
\setstretch{1.00}
% ---------------- MATEMATICA ----------------
\usepackage{amsmath,amssymb,mathtools}
% ---------------- TABELLE ----------------
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\setlength{\extrarowheight}{2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash}p{#1}}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}}
% ---------------- LISTE ----------------
\usepackage{enumitem}
\setlist{
itemsep=0.3em,
topsep=0.3em,
parsep=0pt
}
% ================= DOCUMENTO =================
\begin{document}
\begin{center}
{\Large \textbf{Verifica di Matematica}}\\[0.2cm]
Nome: \underline{\hspace{4cm}} \hfill
Classe: \underline{\hspace{2.5cm}} \hfill
Data: \underline{\hspace{2.5cm}}
\end{center}
\textit{Ogni risposta deve essere giustificata. Qualora mancasse la giustificazione, l'esercizio verrà considerato non valido (0pt) a prescindere dal risultato ottenuto.}
\vspace{0.2cm}
{\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{|C{1.2cm}|C{0.8cm}|X|C{2cm}|}
\hline
\textbf{Livello} & \textbf{N.} & \textbf{Esercizio} & \textbf{Punti} \\
\hline
\multirow{4}{*}{I}
& 1 &
Si individui l'insieme delle primitive associato a ciascuna delle seguenti funzioni:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item $f_1(x)=xe^x+x^2+\frac{3}{x}+\cos x$;
\item $f_2(x)= \sin (2x)e^{\cos 2x}+5\sqrt{x}$;
\item $f_3(x)= \cos x e^{\sin x} +2x$.
\end{enumerate}
& \dots/4pt \\
\cline{2-4}
& 2 &
Si calcoli il valore di uno dei seguenti integrali definiti \underline{senza} ricorrere al teorema fondamentale del calcolo integrale:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item $\int_{0}^{1} x \ dx$;
\item $\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \ dx $;
\item $\int_{1}^{3} x-1 \ dx$.
\end{enumerate}
& \dots/3pt \\
\cline{2-4}
& 3 &
Si consideri la circonferenza avente raggio $R$, centrata nell'origine di un piano cartesiano $Oxy$, di equazione $\pi: x^2+y^2=R^2$. Scrivere la funzione $V(R)$, servendosi degli integrali, che descrive il volume della sfera generata dalla rotazione di una semicirconferenza intorno all'asse delle ascisse o delle ordinate.
& \dots/4pt \\
\cline{2-4}
& 4 &
Svolgere una delle seguenti consegne:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item Si dimostri la formula dell'integrazione per parti;
\item Si spieghi il significato geometrico dell'integrale di Riemann facendo riferimento alle somme integrali superiori e inferiori su partizioni del dominio di integrazione;
\item Si dimostri che se $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ è una funzione continua nel compatto $[a,b] \subset \mathbb{R}$, allora esiste un punto $c \in [a,b]$ tale che $f(c)=\frac{\int_a^b f(x) dx}{b-a}$;
\item Si calcoli il volume di un parallelepipedo nello spazio $Oxyz$ mediante l'integrale definito.
\end{enumerate}
& \dots/5pt \\
\hline
\multirow{2}{*}{II}
& 1 &
Data la funzione integrale: $$F(x)=\int_0^{e^{2x}} \ln t dt, $$ Calcolare la sua derivata prima e di quest'ultima individuare gli eventuali punti stazionari.
& \dots/6pt \\
\cline{2-4}
& 2 &
Determinare il valore di $a \in \mathbb{R}$ tale che $\int_a^{a+1}(3x^2+3)dx=10$.
& \dots/5pt \\
\hline
III
& 1 &
Sia $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ continua. Qual è il massimo valore che può assumere la quantità $Q$?
$$Q=\int_0^1(x^2 f(x)-xf^2(x)) dx$$
& \dots/10pt \\
\hline
Jolly
& 1 &
Siano $0 \leq a<b$, $0 \leq c < d$ e sia $f: [a,b] \to [c,d]$ una funzione monotona crescente e invertibile. Si dia un'interpretazione geometrica e si dimostri la formula $bd-ac=\int_a^b f(x) dx + \int_c^d f^{-1}(x) dx $.
& \dots/15pt \\
\hline
\end{tabularx}
}
\vspace{0.3cm}
\textit{Il questionario è stato scritto e condiviso da RebC - SOS Matematica.}
\vfill
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Voto:} & 4,5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10L \\
\hline
\textbf{Punteggio:} & $<5$ pt & 5 pt & 6 pt & 10 pt & 12 pt & 14 pt & 18 pt & $>18$ pt \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\textit{Buon lavoro!}
\end{center}
\end{document}
