Come al solito la pubblico per aiutarvi a ripassare gli argomenti per la maturità.
Per risolvere i quesiti è necessario conoscere anche le rette nello spazio e i prodotti scalari, argomenti che di solito vengono trattati in quarto superiore e sono ritenuti oggetto d'esame.
Il Jolly è pensato per essere risolto adoperando il computer di classe, quindi non è possibile copiare dato che lo schermo viene proiettato sulla lavagna ed è visibile a tutti.
Notazione:
$Span\{ v_1, v_2, v_3, ... \}= av_1+bv_2+cv_3+...$ , ove $a,b,c, ... \in \mathbb{R}$ e $v_1,v_2,v_3,...$ sono vettori.
Spoiler
Codice LaTeX
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% ---------------- LINGUA E FONT ----------------
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% ---------------- IMPAGINAZIONE ----------------
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% ---------------- MATEMATICA ----------------
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% ---------------- TABELLE ----------------
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\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash}p{#1}}
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}}
% ---------------- LISTE ----------------
\usepackage{enumitem}
\setlist{
itemsep=0.3em,
topsep=0.3em,
parsep=0pt
}
% ================= DOCUMENTO =================
\begin{document}
\begin{center}
{\Large \textbf{Verifica di Matematica}}\\[0.2cm]
Nome: \underline{\hspace{4cm}} \hfill
Classe: \underline{\hspace{2.5cm}} \hfill
Data: \underline{\hspace{2.5cm}}
\end{center}
\textit{Ogni risposta deve essere giustificata. Qualora mancasse la giustificazione, l'esercizio verrà considerato non valido (0pt) a prescindere dal risultato ottenuto.}
\vspace{0.2cm}
{\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{|C{1.2cm}|C{0.8cm}|X|C{2cm}|}
\hline
\textbf{Livello} & \textbf{N.} & \textbf{Esercizio} & \textbf{Punti} \\
\hline
\multirow{4}{*}{I}
& 1 &
Si riscrivano in forma parametrica o cartesiana le seguenti rette:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item $r_1: y=3x+2$;
\item $r_2: \left\{ x=1+3(2-y) ; \ \ z=4-2y \right.$;
\item $r_3: (x,y,z)^T=(0,0,1)^T+Span\{(1, 2,1)^T\}$.
\end{enumerate}
& \dots/3pt \\
\cline{2-4}
& 2 &
Data l'ipersfera $\pi: x^2+y^2+z^2+t^2=4$ centrata nell'origine dello spazio euclideo $\mathbb{R}^4$ dotato di un sistema cartesiano $Oxyzt$, si determinino le coordinate del punto $P'$ ottenuto mediante la proiezione parallela al sottospazio $W: Span\{(1, 0,1,0)^T\}$ del punto $P=(0,1,0,0)^T$ sulla prima calotta incontrata.
& \dots/4pt \\
\cline{2-4}
& 3 &
Si consideri lo spazio euclideo $\mathbb{R}^2$ dotato di un sistema di riferimento a coordinate cartesiane $Oxy$. Data la retta $r:x+y+1=0$, determinare tutte le rette parallele e perpendicolari ad essa.
& \dots/4pt \\
\cline{2-4}
& 4 &
Svolgere una delle seguenti consegne:
\begin{enumerate}[label=\roman*.]
\item Si consideri lo spazio euclideo $\mathbb{R}^2$ dotato di un sistema di riferimento a coordinate cartesiane $Oxy$. Scrivere l'equazione del fascio generato dalle rette $r: 3x+y-2=0$, $s: x+2y+1=0$ e determinare la retta del fascio avente distanza dall'origine pari a $\frac{1}{\sqrt{5}}$;
\item Si spieghi il significato geometrico del coefficiente angolare di una retta nello spazio euclideo $\mathbb{R}^2$.
\end{enumerate}
& \dots/5pt \\
\hline
\multirow{2}{*}{II}
& 1 &
Si risolva l'equazione $(x^3+1)^3=8(2x-1)$.
\textit{Suggerimento: si consideri la relazione geometrica che intercorre, nel piano cartesiano, tra i grafici di due funzioni che sono l'una l'inversa dell'altra.}
& \dots/6pt \\
\cline{2-4}
& 2 &
Sia $P(x_0,y_0)$ un punto dello spazio euclideo $\mathbb{R}^2$ dotato di un sistema di riferimento cartesiano $Oxy$ e sia $r: ax+by+c=0$ una retta. Dimostrare che la distanza punto-retta è data da $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$
& \dots/5pt \\
\hline
III
& 1 & \textbf{Teorema di Pappo.} Siano $r$ e $s$ due rette parallele del piano affine e siano $A,B,C$ tre punti distinti su $r$ e $A',B',C'$ tre punti distinti su $s$.
Si considerino i punti di intersezione delle seguenti coppie di rette: $P = AB' \cap A'B$, $Q = AC' \cap A'C$, $R = BC' \cap B'C$.
Dimostrare che i punti $P,Q,R$ sono allineati, cioè appartengono alla stessa retta.
& \dots/10pt \\
\hline
Jolly
& 1 &
\textbf{Relazione di parallelismo}. Mostrare con un esempio che la relazione "essere paralleli", indicata con $\parallel$, non è una relazione di equivalenza tra sottospazi affini.
Dimostrare poi che invece lo diventa se la si restringe a sottospazi affini aventi la stessa dimensione.
\textit{Nota: per questo esercizio è ammesso l'accesso al web. Non è invece tollerato l'utilizzo di modelli d'intelligenza artificiale.}
& \dots/15pt \\
\hline
\end{tabularx}
}
\vspace{0.3cm}
\textit{Il questionario è stato scritto e condiviso da RebC - SOS Matematica.}
\vfill
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Voto:} & 4,5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10L \\
\hline
\textbf{Punteggio:} & $<5$ pt & 5 pt & 6 pt & 10 pt & 12 pt & 14 pt & 18 pt & $>18$ pt \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\textit{Buon lavoro!}
\end{center}
\end{document}
Il testo del primo esercizio del secondo livello è errato nel PDF, si faccia riferimento a quello nell'immagine.
