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[Risolto] PROBLEMA CON RETTE

  

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Un rombo ABCD ha il vertice A nel punto di coordinate (-4; -6) e il vertice C sull’asse x. Gli altri due vertici appartengono a una retta che ha l’ordinata all’origine uguale a 4. Trova le coordinate di C.

Per favore potete aiutarmi, non riesco proprio a risolverlo. Vi ringrazio in anticipo 😊

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il vertice A è il punto A(-4;-6), il vertice C sarà un punto del tipo C(a;0) visto che sta sull'asse x (cioè non ha una coordinata y), i punti B e D invece appartengono ad una retta del tipo y=mx+4 che infatti all'origine vale 4.

Dalla teoria sai che siccome parli di un rombo, le sue diagonali (cioè i segmenti AC e BD), sono perpendicolari, i lati sono paralleli e sono anche congruenti.

Iniziamo con l'imporre i lati tutti uguali, avendo come incognite B(xb,yb) e D(xd,yd). sfruttiamo la distanza tra punti e ne calcolo il quadrato, tanto l'equivalenza rimane:

AB^2= (-4-xb)^2 + (-6-yb)^2 = 52 + xb^2 +8xb + yb^2 +12yb

BC^2 = (xb-a)^2 + (yb-0)^2 = xb^2 +a^2 -2axb + yb^2

CD^2 = (a-xd)^2 + (0-yd)^2 = a^2 +xd^2 -2axd + yd^2 

AD^2 = (-4-xd)^2 + (-6-yd)^2 = 52 +xd^2 +8xd +yd^2 +12yd

se per esempio poni AB^2 = BC^2 e CD^2 = AD^2 ottieni due equazioni con un po' di cose semplificate:

1) 52 + xb^2 +8xb + yb^2 +52 + xb^2 +8xb + yb^2 +12yb

 

 

ciò significa trovare la retta che passa per AC e quella per BD e imporre che siano perpendicolari.

questa cosa possiamo farla ricavando direttamente il coefficiente angolare della retta AC usando la formula apposta. troviamo che m1= 6/(4+a)

 




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A prima vista risolverlo non dovrebb'essere complicato, è impostarlo che mi pare un po' arzigogolato. Bene, tirèmm innànz!
------------------------------
"il vertice A nel punto di coordinate (-4; -6)"
"il vertice C sull'asse x"
* A(- 4, - 6), B(b, p), C(c, 0), D(d, q)
------------------------------
"una retta che ha l'ordinata all'origine uguale a 4"
Per il punto S(0, 4) passano tutte e sole le rette:
* x = 0, l'asse y;
* y = k*x + 4, per ogni pendenza k reale.
------------------------------
* diagonale AC ≡ y = (6/(c + 4))*(x - c)
* diagonale BD ≡ y = ((p - q)/(b - d))*x + (b*q - d*p)/(b - d)
------------------------------
I vertici B e D appartengono a una y = k*x + 4 vuol dire
* (b*q - d*p)/(b - d) = 4 ≡
≡ q = (4*(b - d) + d*p)/b
------------------------------
"Un rombo ABCD" vuol dire
1) diagonali ortogonali, cioè con pendenze antinverse
* (6/(c + 4))*(p - q)/(b - d) = - 1 ≡
≡ c = - 2*(2 + 3*(p - q)/(b - d))
2) quattro lati di pari lunghezza
* |AB| = |BC| = |CD| = |DA| ≡
≡ |AB|^2 = |BC|^2 = |CD|^2 = |DA|^2 ≡
≡ (|AB|^2 = |BC|^2) & (|AB|^2 = |CD|^2) & (|AB|^2 = |DA|^2) ≡
≡ ((b + 4)^2 + (p + 6)^2 = (b - c)^2 + p^2) & ((b + 4)^2 + (p + 6)^2 = (c - d)^2 + q^2) & ((b + 4)^2 + (p + 6)^2 = (d + 4)^2 + (q + 6)^2)
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QUI TERMINANO GLI ARZIGOGOLI: il problema appare ben posto con cinque valori incogniti (b, c, d, p, q) e cinque vincoli fra di essi.
La soluzione del problema consiste di tutte le soluzioni reali (le incognite sono coordinate di un piano reale) del sistema dei vincoli, sempre che ne esista almeno una: se sarà così si potrà dire, invece di "appare ben posto", che "è ben posto".
ALL'INIZIO MI SBAGLIAVO: risolverlo sarà complicato.
Può anche darsi che sia stato io ad arzigogolare troppo; magari altri responsori (@Anguus90, @Cenerentola, @Dany_71, @Sebastiano, ...) te ne daranno un'impostazione MOOLTO più maneggevole di questa.



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