[Risolto] Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette o tra una retta e un piano

Il vettore AB è dato da:

$ v = B-A = (5,7,8) - (-6,10,5) = (11,-3,3)$

La retta passante per un punto P e di vettore v, in forma cartesiana è semplicemente:

$ \frac{x-x_P}{a} = \frac{y-y_P}{b} = \frac{z-z_P}{c}$

nel nostro caso:

$ \frac{x-4}{11} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z-0}{3}$

Noemi

Il punto C(k), cursore della retta AB tale che C(0) = A e C(1) = B, è
* C = A + k*(B - A) = (- 6, 10, 5) + k*((5, 7, 8) - (- 6, 10, 5)) =
= (- 6, 10, 5) + k*(11, - 3, 3)
quindi la retta AB è il luogo dei punti C(- 6 + 11*k, 10 - 3*k, 5 + 3*k).
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Il punto D(k), cursore della parallela tale che D(0) = P(4, - 3, 0), si ottiene da C ponendo P come punto fisso
* D = P + k*(B - A) = (4, - 3, 0) + k*(11, - 3, 3)
quindi la retta richiesta è il luogo dei punti D(4 + 11*k, - 3 - 3*k, 3*k) e la sua forma cartesiana si ottiene eliminando il parametro dalle coordinate del cursore
* (x = 4 + 11*k) & (y = - 3 - 3*k) & (z = 3*k) ≡
≡ (k = z/3) & (y = - z - 3) & (x = 11*z/3 + 4)
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NOTA
Il risultato atteso
* (x - 4)/11 = (y + 3)/(- 3) = z/3 = k
invece di eliminare il parametro direttamente per sostituzione ne ricava l'espressione da ciascuna delle coordinate e lo elimina alla fine.