Sia r retta tangente ad una sfera, ovvero tale che R=d(C, r), con R raggio e C centro della sfera; dimostrare che il vettore CP con P punto di tangenza è ortogonale alla direzione della retta.
Sia r retta tangente ad una sfera, ovvero tale che R=d(C, r), con R raggio e C centro della sfera; dimostrare che il vettore CP con P punto di tangenza è ortogonale alla direzione della retta.
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Livello 1
Credo che questi esercizi su minima distanza ed ortogonalità girino tutti intorno allo stesso concetto, ma qui
mi sembra gestibile in modo più semplice. Se (a b c) é il vettore direzione della tangente, la distanza
CP, o il suo quadrato, é minima nel punto di tangenza. Ovvero
CP^2 = min
(at + xP - xC)^2 + (bt + yP - yC)^2 + (ct + zP - zC)^2 = min
la condizione necessaria di estremo si scrive
2 (at + xP - xC) * a + 2 (bt + yP - yC) *b + 2 (ct + zP - zC) * c = 0
2 CP * (a b c)' = 0
CP é ortogonale a t
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Livello 6
@eidosm se prendo PP' come direzione della retta, come dimostro che <CP, PP'>=0?
Intersecando la sfera col piano individuato da r e C si ha una circonferenza che r tange in P.
L'ortogonalità al raggio è condizione necessaria e sufficiente per la tangenza.
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Genius I