Salve a tutti, non saprei proprio come risolvere questo esercizio.
La frontiera di R credo sia misurabile e ha misura nulla, però anche questo non so dimostrarlo e lo so solo intuitivamente. Grazie a chi potrà aiutarmi.
Salve a tutti, non saprei proprio come risolvere questo esercizio.
La frontiera di R credo sia misurabile e ha misura nulla, però anche questo non so dimostrarlo e lo so solo intuitivamente. Grazie a chi potrà aiutarmi.
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Livello 1
@apprentus ...volevo suggerirti @eidos che mi ha preceduto: buon per te😉
si però a parte il conto dell'integrale, come stabilisco l'integrabilità tramite la definizione?
La misura 2 - dimensionale del contorno, perimetro del quadrato, é 0, risultando
mis (dR) = 4*(1-0)*0 = 0. La funzione, su tale frontiera, é costante al valore 1.
Applicando la definizione di integrale di Lebesgue, risulta quindi
SS_[R] f(x,y) dx dy = SS_[(R-dR) + dR] f(x,y) dx dy =
= SS_[R - dR] f(x,y) dx dy + SS_[dR] f(x,y) dx dy =
= 0 * mis (R - dR) + 1 * mis (dR) =
= 0 *(1-0)*(1-0) + 1 * 0 =
= 0 + 0 = 0.
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Livello 6
@eidosm grazie, penso solo che tu abbia sbagliato ad usare il simbolo + invece che l'unione, poi ciò che non ho capito è come ti sia venuto fuori che mis (dR) = 4*(1-0)*0 = 0.
La misura 2 - dimensionale é un'area. L'area dell'unione dei 4 lati é quella di 4 rettangoli di base 1 e altezza nulla. E' chiaro che + significa U e trattandosi di insiemi disgiunti conduce alla somma.
@eidosm si infatti poi avevo capito perchè era quella la misura, i segmenti sono rettangoli omogenei, grazie mille
@eidosm l'esercizio mi chiede di stabilire usando la definizione se la funzione risulta integrabile, quindi prima di fare quei calcoli, come dimostro che la funzione è integrabile con la definizione? Devo dimostrare che l'integrale superiore e l'integrale inferiore coincidono, ma come lo dimostro?