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[Risolto] Integrale doppio per calcolare momento d'inerzia

  

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Salve a tutti, mi serve un suggerimento per calcolare il momento d'inerzia di una lamina piana. L'esercizio è diviso in due parti, nella prima bisogna disegnare il grafico della regione $D$ su cui bisogna integrare e successivamente devo calcolare il baricentro della lamina rappresentata da $D$.

Dal dominio dato ho ricavato che la regione $D$ si trova nel semipiano dato da $y>0$, compresa tra una circonferenza di raggio $1$ e un ellisse di equazione $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$.

So che la formula per calcolare il momento d'inerzia rispetto all'origine in $R^2$ è:

$\int{}^{}{(x^2+y^2) f(x,y) dx dy}$

Nell'esercizio la densità $f(x,y) = y$

Vorrei sapere se fin qui il ragionamento che ho fatto è giusto e sapere qual è  il cambio di variabili opportuno; devo fare un cambio di coordinate polari, ellittiche, oppure mi conviene rimanere con le coordinate cartesiane $x$ e $y$?

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Per ora ti posso dire che se C + D = E allora D = E - C

 

e quindi  I = SS_[E] (x^2 + y^2) y dx dy - SS_[C] (x^2 + y^2) y dx dy

 

e puoi eseguire il passaggio a coordinate ellittiche ( polari nel secondo )




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A parer mio il cambio di variabili è opportuno solo per masochisti che debbano perdere tempo in attesa della moglie che sta telefonando al figlio maggiore all'estero per Erasmus: allora si può fare ed è pure utile.
Gli altri integrano normalmente per
* (- 1 <= x <= 1) & (√(1 - x^2) <= y <= 2*√(1 - x^2))
e ottenendo
* ∫ [x, - 1, 1] ( ∫ [y, √(1 - x^2), 2*√(1 - x^2)] (y*x^2 + y^3)*dy )*dx =
= ∫ [x, - 1, 1] ((3*x^2 - 4)^2/4 - 1/4)*dx =
= 22/5



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