[Risolto] Equazione della circonferenza per il centro e passante per un punto

Ciao,

Una circonferenza di centro $C=( x_C, y_C)$ e raggio $r$  ha equazione:

$(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2$

Determiniamo il raggio, che è la distanza tra il centro C e il punto P.

$d_{CP}=\sqrt{(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2} = $

$\sqrt{(2-0))^2+(-1-3)^2} =$$ \sqrt{(2)^2+(-4)^2} =$

$\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Il raggio  è $r= 2\sqrt{5}$

Le coordinate del centro le abbiamo, abbiamo trovato il raggio, dobbiamo sostituirle nell'equazione generale:

$(x-0)^2 + (y-3)^2 = (2\sqrt{5})^2$

Sviluppando i quadrati otteniamo:

$x^2 +y^2-6y+9= 20$

$x^2 +y^2-6y+9-20= 0$

$x^2 +y^2-6y-11= 0$

Quindi l'equazione della circonferenza è:

$x^2 +y^2-6y-11= 0$

saluti ? 

L'equazione di una generica circonferenza è $(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2$
dove: $C = (x_C, y_C)$ sono le coordinate del centro
$r$ = raggio della circonferenza.

Il testo ci dice che il centro è $C=(3;4)$.
Il raggio, però, dobbiamo calcolarlo: è la lunghezza del segmento di estremi $A=(-2; \frac32)$, $B=(1, -\frac52)$.

Calcoliamo la distanza tra i due punti con la formula della distanza tra due punti:

$d_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} = \sqrt{(1-(-2))^2+(-\frac52-\frac32)^2} = \sqrt{(1+2)^2+(-\frac82)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Allora il raggio è $r=5$ e l'equazione della circonferenza è:

$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2$
$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$
$x^2+9-6x+y^2+16-8y=25$
$x^2+y^2 -6x-8y = 0$

Ops... avevo letto male! Rimediamo subito!

"Determina il raggio e scrivi l'equazione della circonferenza di centro $C(0;3)$ e passante per $P(2;-1)$.

Scriviamo l'equazione generale della circonferenza con centro $C=(x_c, y_c)$ e successivamente imponiamo il passaggio per $P$.

Equazione generale: $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2 = r^2$
Sostituiamo i valori del centro: $(x-0)^2+(y-3)^2=r^2$
svogliamo i conti: $x^2+y^2+9-6y = r^2$

Imponiamo il passaggio per $P(2; -1)$ sostituendo nell'equazione trovata i valori di $x$ e $y$ con i valori di $x_P$ e $y_P$:
$2^2+(-1)^2 +9-6(-1)=r^2$
$4+1+9+6= r^2$
$r^2 = 20$

Quindi l'equazione è: $x^2+y^2-6y +9-20=0$
$x^2+y^2-6y -11=0$