[Risolto] Circonferenza

Il fascio è:

x^2 + y^2 - 6·x - 6·y + 17 + k·(x^2 + y^2 + 4·x) = 0

che riorganizziamo nel seguente modo:

x^2·(k + 1) + y^2·(k + 1) + x·(4·k - 6) - 6·y + 17 = 0

per k + 1 = 0----> k = -1

si ottiene : - 10·x - 6·y + 17 = 0

che rappresenta l'asse radicale, quindi una circonferenza degenere.

Nel nostro caso non abbiamo punti base 

{x^2 + y^2 - 6·x - 6·y + 17 = 0

{x^2 + y^2 + 4·x = 0

in quanto le generatrici del fascio non hanno punti in comune, cioè il sistema è impossibile in ambito reale.

Le due circonferenze hanno centri: [3, 3] e [-2, 0] per essi passa l'asse dei centri:

(y - 3)/(x - 3) = (0 - 3)/(-2 - 3)----> (y - 3)/(x - 3) = 3/5----> y = 3·x/5 + 6/5

Determiniamo il centro che deve avere la circonferenza del fascio:

{y = 3·x/5 + 6/5

{3·x = 4·y

Risolvendo otteniamo: [x = 8 ∧ y = 6]

Quindi riscriviamo il fascio:

x^2 + y^2 + x·(4·k - 6)/(k + 1) - 6/(k + 1)·y + 17/(k + 1) = 0

Quindi essendo C(-a/2,-b/2) con riferimento alla circonferenza tipo x^2+y^2+ax+by+c=0

si deve avere:

{(3 - 2·k)/(k + 1) = 8

{3/(k + 1) = 6

Da ognuna di esse risulta: k = - 1/2

per cui la circonferenza cercata è:

x^2 + y^2 + x·(4·(- 1/2) - 6)/(- 1/2 + 1) - 6/(- 1/2 + 1)·y + 17/(- 1/2 + 1) = 0

x^2 + y^2 - 16·x - 12·y + 34 = 0

Il fascio ha equazione della forma

x^2 + y^2 - 6x - 6y + 17 + k (x^2 + y^2 + 4x ) = 0

(1 + k )x^2 + (1 + k) y^2 + (4k - 6)x - 6y + 17 = 0

C = (-A/2; -B/2) = (3 - 2k, 3)

Sostituendo nell'equazione della retta 3(3 - 2k) = 4*3

9 - 6k = 12

6k = 9 - 12

k = -3/6 = -1/2

e sostituendo in

(1 + k )x^2 + (1 + k) y^2 + (4k - 6)x - 6y + 17 = 0

ne viene

1/2 x^2 + 1/2 y^2 - 8x - 6y + 17 = 0

che si può scrivere anche come

x^2 + y^2 - 16x - 12y + 34 = 0.

 

Fascio di circonferenze privo di punti base. 

I centri delle due generatrici sono:

C1= (3;3)

C2=( - 2;0)

 

Determino il centro della circonferenza richiesta come intersezione tra la retta passante per i centri delle generatrici e la retta data 3x=4y 

 

{y= (3/5)*(x+2)

{3x=4y

 

Da cui si ricava: C=(8;6)

 

Il fascio di circonferenze ha equazione:

 

x²+y² + [(4k-6)/(1+k)]x - [6/(k+1)]y + 17/(k+1)

 

Con riferimento all'equazione della circonferenza nella forma:

x² + y² + ax + by + c = 0

le coordinate del centro sono: C=( - a/2 ; - b/2)

 

Nel caso in esame:

{ (3-2k)/(1+k)=8

{ 3/(k+1) = 6

 

Da cui si ricava il valore del parametro:

K= - 1/2

 

Con k= - 1/2

x²+ y² - 16x - 12y + 17/(1/2) = 0

x² + y² - 16x - 12y + 34 = 0

 

Il sistema delle circonferenze date è
* (x^2 + y^2 + 4*x = 0) & (x^2 + y^2 - 6*x - 6*y + 17 = 0) ≡
≡ (x^2 + y^2 = - 4*x) & (- 4*x - 6*x - 6*y + 17 = 0) ≡
≡ (y = (17 - 10*x)/6) & (x^2 + ((17 - 10*x)/6)^2 + 4*x = 0) ≡
≡ (y = (17 - 10*x)/6) & (p(x) = x^2 - (49/34)*x + 17/8 >= p(49/68) = 7425/4624 > 0) ≡
≡ zero punti base, circonferenze esterne, asse radicale y = (17 - 10*x)/6.
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Completare i quadrati dei termini variabili; isolare il termine noto; leggere centro e raggio.
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1) Γ1 ≡ x^2 + y^2 + 4*x = 0 ≡
≡ x^2 + 4*x + y^2 = 0 ≡
≡ (x + 2)^2 - 2^2 + y^2 = 0 ≡
≡ (x + 2)^2 + y^2 = 2^2
* C1(- 2, 0); r1 = 2.
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2) Γ2 ≡ x^2 + y^2 - 6*x - 6*y + 17 = 0 ≡
≡ x^2 - 6*x + y^2 - 6*y + 17 = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 - 3^2 + (y - 3)^2 - 3^2 + 17 = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 1^2
* C2(3, 3); r2 = 1.
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Asse centrale: C1C2 ≡ y = (3/5)*(x + 2)
Retta data: 3*x = 4*y
Intersezione: (3*x = 4*y) & (y = (3/5)*(x + 2)) ≡ C(8, 6)
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Fascio
* Γ(a, b) ≡ a*Γ1 + b*Γ2 = 0
con (a, b) non entrambi nulli (a + b != 0).
* a*(x^2 + y^2 + 4*x) + b*(x^2 + y^2 - 6*x - 6*y + 17) = 0 ≡
≡ x^2 + 2*((2*a - 3*b)/(a + b))*x + y^2 - 2*(3*b/(a + b))*y + 17*b/(a + b) = 0 ≡
≡ (x + (2*a - 3*b)/(a + b))^2 - ((2*a - 3*b)/(a + b))^2 + (y - 3*b/(a + b))^2 - (3*b/(a + b))^2 + 17*b/(a + b) = 0 ≡
≡ (x + (2*a - 3*b)/(a + b))^2 + (y - 3*b/(a + b))^2 = (4*a^2 - 29*a*b + b^2)/(a + b)^2
cioè: la generica circonferenza Γ(a, b), degenere se r(a, b) <= 0, ha
* raggio r(a, b) = √(4*a^2 - 29*a*b + b^2)/|(a + b)|
* centro C(- (2*a - 3*b)/(a + b), 3*b/(a + b))
che coincide con C(8, 6) se e solo se
* (- (2*a - 3*b)/(a + b) = 8) & (3*b/(a + b) = 6) ≡ (b = - 2*a) & (a != 0)
da cui
* r(a, - 2*a) = √(4*a^2 - 29*a*(- 2*a) + (- 2*a)^2)/|(a - 2*a)| = √66
e la circonferenza richiesta
* Γ(a, - 2*a) ≡ (x - 8)^2 + (y - 6)^2 = 66 ≡
≡ x^2 + y^2 - 16*x - 12*y + 34 = 0
che è proprio il risultato atteso.