[Risolto] Circonferenza

Dunque ... Scriviamo l'equazione della generica circonferenza

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

e imponiamo che nel punto (0; 0 + 3) = (0;3) la risolvente del sistema

con y = x + 3   abbia discriminante nullo per la condizione di tangenza.

Risulta

0 + 9 + 0 + 3b + c = 0 =>  9 + 3b + c = 0

x^2 + (x + 3)^2 + ax + b(x + 3) + c = 0 ha D = 0

x^2 + x^2 + 6x + 9 + ax + bx + 3b + c = 0

2x^2 + (6 + a + b)x + 9 + 3b + c = 0

(6 + a + b)^2 - 8(9 + 3b + c) = 0

(6 + a + b)^2 - 8*0 = 0

6 + a + b = 0

b = -6 -a

e c = -3b - 9 = 18 + 3a - 9 = 3a + 9 = 3(a + 3)

Per cui l'equazione del fascio richiesto é

x^2 + y^2 + ax - (a+6)y + 3(a+3) = 0

 

Procediamo con la risposta alle domande

1) passante per l'origine : c = 0 => a = -3

x^2 + y^2 - 3x -3y = 0

2) centro di ascissa 4 : -a/2 = 4 => a = -8

x^2 + y^2 - 8x + 2y - 15 = 0

3) ponendo x = 0 si ha l'equazione

y^2 - (a+6) y + 3(a+3) = 0

per la quale deve risultare

d = rad(D)/|A| = 3

ed essendo A = 1

(a+6)^2 - 12(a+3) = 9

a^2 + 12a + 36 - 12a - 36 - 9 = 0

a^2 - 9 = 0

a = -3 V a = 3

solo la seconda va bene per quanto precisato nella traccia

per cui otteniamo

x^2 + y^2 + 3x - 9y + 18 = 0

La tangente imposta
* t ≡ y = x + 3
ha pendenza uno, quindi il fascio delle sue perpendicolari ha pendenza antinversa (- 1) e quella per il prescritto punto di tangenza T(0, 3) è l'asse centrale c del fascio di circonferenze richiesto
* c ≡ y = 3 - x
il cui punto cursore, centro della generica circonferenza Γ(k) del fascio, è C(k, 3 - k).
Il raggio di Γ(k) è la distanza fra C e T
* |CT| = r(k) = (√2)*k
da cui segue l'equazione del fascio
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (3 - k))^2 = 4*k^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*k*x + 2*(k - 3)*y - (2*(k + 3/2)^2 - 27/2) = 0
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RISPOSTE
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1. Passante per l’origine
* 2*(k + 3/2)^2 - 27/2 = 0 ≡ k = - (3/2)*(1 ± √3)
da cui
* Γ(- (3/2)*(1 - √3)) ≡ x^2 + y^2 + 3*(1 - √3)*x + 3*(√3 - 3)*y = 0
* Γ(- (3/2)*(1 + √3)) ≡ x^2 + y^2 + 3*(1 + √3)*x - 3*(√3 + 3)*y = 0
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2. con centro di ascissa 4
* k = 4
* C(k, - 1)
* r(4) = 4*√2
* Γ(4) ≡ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 64
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3. che stacca sull’asse delle y una corda di lunghezza 3 e non passa per l’origine
* (asse y) & Γ(k) ≡ (x = 0) & ((x - k)^2 + (y - (3 - k))^2 = 4*k^2) ≡
≡ Y1(0, (3 - k) - (√3)*k) oppure Y2(0, (3 - k) + (√3)*k)
da cui la lunghezza della corda che dev'essere tre
* |Y1Y2| = c = (2*√3)*k = 3 ≡ k = √3/2
* Γ(√3/2) ≡ 2 x^2 + 2 y^2 - (2*√3)*x + (2*√3)*y - 12*y + 3*(5 - 2*√3) = 0
NOTA
Aver specificato "e non passa per l’origine" fu una castroneria.
Il vincolo "|Y1Y2| = 3" dà luogo a un unico valore per k: c'è poco da scegliere!