Potete aiutarmi a determinare il carattere di questa serie?
Potete aiutarmi a determinare il carattere di questa serie?
a me risulta che converge
Consideriamo il primo addendo a(n) :
lim_n->oo a(n+1)/a(n) = lim_n->oo 3^n/(3n + 4)! : 3^(n-1)/(3n+1)! =
= lim_n->oo 3/[(3n+4)(3n + 3)(3n+2) ] = lim_n->oo 1/(9n^2) = 0.
Applicando la definizione di limite, a partire da un certo n
risulterà a(n+1)/a(n) < L < 1
e poiché i termini sono tutti positivi a(n+1) < L a(n)
ovvero la serie é definitivamente maggiorata da una serie geometrica convergente
e quindi é convergente.
Passiamo al secondo addendo b(n) = ( 1 - 1/(n+3) )^((n+3)* n^2/(n + 3)) ~
in un intorno di oo si comporta come
~ [ (1 - 1/(n+3) )^(n+3) ]^(n^2/(n+3)) ~ (e^(-1))^n = 1/e^n
che é una serie geometrica convergente.
Entrambi gli addendi convergono => la serie complessiva converge.