calcolo massimo e minimo

@michela_anghelone

Buongiorno e benvenuta. Intanto:

 

Poi vedo di scrivere qualcosa anch'io....

Analizziamo la funzione z libera dai vincoli

z = x^2 + y^2 - x·y - x - y

determiniamo gli eventuali punti critici:

{Z'x=0

{Z'y=0

quindi imponiamo le C.N.:

{2·x - y - 1 = 0

{-x + 2·y - 1 = 0

Risolviamo ed otteniamo: [x = 1 ∧ y = 1]

Analizziamo ora l'Hessiano:

H(x,y)=

|Z''xx.........Z''xy|

|Z''yx.........Z''yy|

quindi:

|2.............-1|

|-1......--.....2|

H=3 >0 e Z''xx= 2>0

Dal che si deduce che in (1,1) si ha un minimo relativo che è anche assoluto per la funzione libera da vincoli.

Zmin=1^2 + 1^2 - 1·1 - 1 - 1=-1

Dall'esame delle linee di livello:

si riconosce che la prima tangente al dominio delle soluzioni ammissibili si ha per Z=0 in (2,2) in cui si ha minimo assoluto vincolato

 

 

Cominciamo dai punti interni

Annullando il gradiente

 

{ f'x = 2x - y - 1 =0

{ f'y = -x + 2y - 1 = 0

 

da qui y = 2x-1, -x + 4x - 2 - 1 = 0,  3x - 3 = 0, x = 1, y = 2*1 - 1 =1

si ottiene il punto (1,1) che non si trova nel dominio assegnato perché

x + y = 1 + 1 = 2 che non é maggiore o uguale di 4.

Che il massimo assoluto non esista potrebbe essere constatato intuitivamente

osservando che x^2 + y^2 non é limitato nel dominio.

In ogni caso un'analisi precisa va condotta esaminando il comportamento della funzione sui

tre pezzi di frontiera

a) x = 0  e y >= 4

b) x >= 0, y >= 4

c) y = 4 - x

 

 

a) per x = 0, f = y^2 - y     con y >= 4

b) per y = 0,  f = x^2 - x    con x >= 4

c) per y = 4 - x,   f = x^2 + (4 - x)^2 - x(4 - x) - x - 4 + x =

= x^2 + 16 - 8x + x^2 - 4x + x^2 - 4 = 3x^2 - 12x + 12 =

= 3(x-2)^2 e qui il minimo assoluto si ha per x = 2 e y = 2.

Il resto dei calcoli sui casi a e b li lascio a te ma non sono difficili,

essendo due parabole.

Che la frontiera sono i tre lati, di cui puoi scrivere le equazioni come rette per due punti.

Non avendo compreso il significato di ",ad esempio" rispondo come se non ci fosse.
Gli estremi assoluti sono estremi dell'insieme che ha per elementi gli estremi relativi e i valori di frontiera dell'insieme di definizione reale (gli eventuali valori complessi, non essendo ordinabili, sono irrilevanti.).
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La funzione
* f(x, y) = z = x^2 + y^2 - x*y - x - y ≡
≡ z = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 - x*y + (x - 1) + (y - 1)
rappresenta un paraboloide ellittico con concavità verso z > 0 e vertice in V(1, 1, - 1) che pertanto è un minimo relativo e l'unico punto a gradiente nullo.
Vedi al link
http://progettomatematica.dm.unibo.it/Quadriche/teoria/denis3/classificazione.html
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Il sistema
* (x >= 0) & (y >= 0) & (x + y >= 4)
rappresenta la zona del primo quadrante superiore alla retta y = 4 - x, frontiera inclusa, che è il dominio D su cui limitare la ricerca.
Le sezioni del paraboloide con i piani di frontiera sono, ovviamente, parabole e pertanto con un solo punto d'estremo su ciascuna frontiera.
Poiché il punto V(1, 1, - 1), unico a gradiente nullo, non è in D allora gli estremi assoluti possono solo essere fra gli estremi di frontiera.
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A) f(0, y) = z = y^2 - y
è una parabola con vertice in (0, 1/2, - 1/4)
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B) f(x, 0) = z = x^2 - x
è una parabola con vertice in (1/2, 0, - 1/4)
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C) f(x, 4 - x) = z = x^2 + (4 - x)^2 - x*(4 - x) - x - (4 - x) ≡
≡ z = 3*(x - 2)^2
è una parabola con vertice in (2, 2, 0)
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CONCLUSIONE
* minimi assoluti: (0, 1/2, - 1/4) oppure (1/2, 0, - 1/4)
* massimo assoluto: (2, 2, 0)