problemi di massimo e minimo di geometria nel piano

y = e^(x^3 - 12·x)

Definita su tutto R assieme alle sue derivate, sempre positiva.

Condizioni agli estremi del C.E.

LIM(e^(x^3 - 12·x))= 0

x----> -∞

LIM(e^(x^3 - 12·x))= +∞

x----> +∞

Studio derivata prima:

y' = dy/dx = e^(x^3 - 12·x)·(3·x^2 - 12)

Quindi si analizza: 3·x^2 - 12

y' >0 se 3·x^2 - 12 >0 quindi se x < -2 ∨ x > 2

(f(x) cresce)

y' <0 se -2 < x < 2

(f(x) decresce)

y' = 0 se x = -2 ∨ x = 2

(f(x) presenta due punti di stazionarietà)

Per x=-2 si ha un max relativo

Per x=2 si ha un min relativo

Per quanto riguarda la derivata seconda:

y''=3·e^(x^3 - 12·x)·(3·x^4 - 24·x^2 + 2·x + 48)

per i motivi precedenti si deve analizzare il fattore:

y = 3·x^4 - 24·x^2 + 2·x + 48

che ha l'andamento di figura:

Sono visibili due zeri : uno a sinistra ed uno a destra del valore x=-2 a cui corrisponderanno due flessi Per il segno della derivata seconda ti sarà sufficiente osservare il segno della funzione di sopra.

 

 

Per una funzione continua gli zeri reali di molteplicità dispari separano intervalli di segno opposto; gli altri zeri reali separano intervalli di segno eguale.
Con
* f(x) = y = e^(x^3 - 12*x)
* f'(x) = 3*(x^2 - 4)*e^(x^3 - 12*x)
* f''(x) = 3*(3 x^4 - 24 x^2 + 2 x + 48)*e^(x^3 - 12*x)
si ha quanto segue.
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Gli zeri reali di f''(x), espressi dagli orribili radicali annidati di Ferrari-Cardano e approssimati da
* x = a ~= - 2.3
* x = b ~= - 1.7
sono le ascisse dei punti di flesso della f(x) (quesito F) e separano i suoi intervalli di concavità/convessità (quesito G)
* x < a: f(x) volge la concavità verso y > 0
* a < x < b: f(x) volge la concavità verso y < 0
* x > b: f(x) volge la concavità verso y > 0
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Gli zeri reali di f'(x), in x = ± 2, sono le ascisse dove f(x) ha un flesso a tangente orizzontale o un estremo relativo (quesito D) classificato sul segno di f''(x)
* massimo relativo: (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) ≡ x = - 2
* minimo relativo: (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) ≡ x = 2
e separano i suoi intervalli di crescenza/decrescenza (quesito E)
* x < - 2: f(x) cresce
* - 2 < x < 2: f(x) decresce
* x > 2: f(x) cresce