Problema massimi e minimi

Indichiamo con x l'altezza della piramide : 0 <= x <= 2r

Se tracciamo la figura notiamo che, detta d la diagonale del quadrato di base,

(d/2)^2 = r^2 - (x - r)^2 = r^2 - x^2 + 2rx - r^2 = 2rx - x^2

d^2 = 4 (2rx - x^2)

Sb = d^2/2 = 2 (2rx - x^2)

Vp = 1/3 Sb h = x/3 * 2 (2rx - x^2) = 2/3 (2rx^2 - x^3)

dV/dx = 2/3 * (4rx - 3x^2) >= 0   intervalli di crescenza

la disequazione equivale a 4r - 3x >= 0 => x <= 4/3 r

puoi verificare facilmente che il massimo trovato é assoluto

constatando che Vp é nulla per x = 0 e x = 2r.

Vp* = 2/3 * (2r * 16/9 r^2 - 64/27 r^3) =

= 2/3 * (32/9 - 64/27) r^3 = 2/3 * 32/27 r^3 = 64/81 r^3

per cui risulta infine

RV <= 64/81 r^3 : (4/3 pi r^3) = 64/81 * 3/(4pi) = 16/(27 pi) ~ 0.1886

che, come richiesto, é minore di 1/5 = 0.2.

La piramide retta a base quadrata inscritta nella sfera di raggio R ha volume massimo se e solo se la sua sezione diagonale è il triangolo isoscele di area massima inscritto nel cerchio massimo della sfera, cioè il triangolo equilatero di lato d = R*√3 e altezza h = (√3/2)*d = (3/2)*R.
Pertanto la piramide ha area di base B = (d/√2)^2 = (3/2)*R^2 e volume Vp = B*h/3 = (3/4)*R^3.
Il volume della sfera essendo Vs = (4/3)*π*R^3, "1/5 (un quinto) del volume della sfera" è (4/15)*π*R^3.
Tesi ("Dimostra che ...")
* Vp < Vs/5 ≡
≡ (3/4)*R^3 < (4/15)*π*R^3 ≡
≡ (3/4)/(4/15) = 45/16 = 2.8125 < π ≡ Vero
QED