Buongiorno ragazzi,
ho qualche problema con il limite di cui alla foto allegata. Consigli su come procedere? Applicare direttamente de L'Hopital complica ulteriormente le cose. Ho provato qualche sostituzione di variabile ma rimane sempre qualche termine scomodo.
Grazie in anticipo.
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Livello 0
Purtroppo non posso utilizzare lo sviluppo di Taylor in quanto non ancora trattato a questo punto del libro.
Provando a dividere tutto per $x^2$:
- al numeratore ottengo $\frac{x^2cosx + 1 - e^{x^2}}{x^2}$, ovvero $cosx + \frac{1 - e^{x^2}}{x^2}$ che va come $cosx - 1$ al tendere di $x$ a zero;
- al denominatore ottengo $\frac{x^2(sinx)^2}{x^2}$, ovvero $x^2(\frac{sinx}{x})^2$ che va come $x^2$ (limite notevole $\frac{sinx}{x}$ → 1).
In definitiva mi viene $\frac{cosx-1}{x^2}$ che tende a $-1/2$. In realtà dovrebbe venire -1. Dove sbaglio?
Grazie ancora, un saluto.
@Shep L'errore è considerare $cosx+ (1-e^{x^2})/x^2$ come $cosx -1$ perché anche $cosx$ tende ad 1. È questo il principale problema: capire come va a 0 il numeratore. Con Taylor si scopre che tende a 0 con la stessa velocità di $x^4$.
$x^2cosx$ è circa uguale a (serie di Taylor) $x^2-x^4/2$
$1-e^{x^2}$ è circa uguale a $-x^2-x^4/2$
Il denominatore è circa uguale a $x^4$
A me verrebbe quindi $-1$ ma ho fatto i conti molto velocemente
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Livello 9
Benvenuto/a.
Io ti suggerisco di usare i limiti notevoli. Dividi numeratore e denominatore per $x^2$. Ottieni come risultato -1.
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Livello 4
Provando a dividere tutto per $x^2$:
- al numeratore ottengo $\frac{x^2cosx + 1 - e^{x^2}}{x^2}$, ovvero $cosx + \frac{1 - e^{x^2}}{x^2}$ che va come $cosx - 1$ al tendere di $x$ a zero;
- al denominatore ottengo $\frac{x^2(sinx)^2}{x^2}$, ovvero $x^2(\frac{sinx}{x})^2$ che va come $x^2$ (limite notevole $\frac{sinx}{x}$ → 1).
In definitiva mi viene $\frac{cosx-1}{x^2}$ che tende a $-1/2$. In realtà dovrebbe venire -1. Dove sbaglio?
Grazie ancora, un saluto.
@Shep ciao.
Come dice @Sebastiano è giustissimo.
Anche io mi sono impelagata come te con i limiti notevoli, purtroppo esce -1/2 come hai calcolato tu.
Cavoli, è vero. Mi sono complicato la vita svolgendo il limite notevole a denominatore, quando potevo semplicemente tenere $(sinx)^2$ e riscriverlo come $1-(cosx)^2$.
Grazie, buon anno. 🙂
Si @Sherp ma torna sempre -1/2 .. pensavo di avercela fatta 😓
