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[Risolto] calcolare il limite con x che tende a +inf di una sommatoria con funzione parte intera di un esponenziale

  

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potete spiegarmi tutti i passaggi? Non ho proprio idea come iniziare a fare l'esercizio. Da quello che ho capito si può rendere anche come integrale ma non capisco quale sia la funzione integranda e che estremi prendere.... o forse mi sbaglio. 

Grazie per l'aiutoooooo

Premessa. Dato $a \in R$, definiamo la parte intera inferiore di a, indicata con $\lfloor a\rfloor$, il più grande intero minore o uguale ad $a$, ossia
$$
\lfloor a\rfloor=\max \{k \in Z : k \leq a\} .
$$
Ad esempio, se $a=\pi$ allora $\lfloor a\rfloor=3$. Se $a=\frac{1}{3}$, allora $\lfloor a\rfloor=0$. Ed infine, se $a=-10,2$ allora $\lfloor a\rfloor=-11$
Osserviamo che ogni numero $a \in R$ si può scrivere come
$$
a=\lfloor a\rfloor+\delta_a
$$
dove $\delta_a \in(0,1)$.
Esercizio: Calcolare il valore del seguente limite
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\left\lfloor e^{k / n}\right\rfloor
$$

bandicam 2022 12 02 15 59 49 625
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Se fisso un n

esisteranno alcuni k per cui quella parte intera é 1

e altri per cui é due,

passando la frazione k/n gradualmente da 0 a 1

l'argomento va da 1 a e la cui parte intera é 2.

Detto k* il valore di separazione risulta circa

e^(k*/n) = 2

che darebbe k*/n = ln 2

e k* = n ln 2 o meglio la sua parte intera

Quindi la somma é [1 * [ n ln 2 ] + 2 ( n - [ n ln 2 ] )] / n.

 

Quando n ->oo la differenza "n ln 2 - [n ln 2 ]" che é minore di 1

tende a scomparire se divisa per n per cui il limite é lo stesso che si avrebbe

omettendo l'operatore [ ]

lim_n->oo ( n ln 2 + 2n - 2n ln 2 )/n =

= ln 2 + 2 - 2 ln 2 =

= 2 - ln 2 ~ 1.307

@eidosm "Se fisso un n esisteranno alcuni k per cui quella parte intera é 1 e altri per cui é due" potresti spiegarmi perché? 👍

Perché l'esponenziale naturale è continua e strettamente crescente in tutto R e in particolare fra 0 e 1

@eidosm potrei risolvere l'esercizio utilizzando gli integrali? Se sì, quale sarebbe l'integrale da calcolare? Perché ho svolto l'esercizio intendendo il limite dato come la somma dell'area di infiniti rettangoli con base DELTAx - cioè 1/n - e altezza f(x)... che si può approssimare all'integrale definito in [0,1]

(se vuoi scrivo tutta la spiegazione, è un po' lunga, ma spero tu abbia capito l'idea alla base del mio ragionamento)

e praticamente il professore mi ha detto che l'idea è originale ma che ho sbagliato la funzione da integrare.

Ho trovato : S_[0,1] [e^x] dx = S_[0, ln 2] 1 dx + S_[ln 2, 1] 2 dx = ln 2 + 2(1 - ln 2) = 2 - ln 2

l'idea mi é venuta pensando all'integrale definito come Somma_k:1->n  (b - a)/n * f(k/n)

@eidosm scusa se ti faccio domande ma vorrei capire bene... io appunto avevo solo fatto l'integrale da 0 a 1 di e^x scrivendo poi = e - 1 ... ma perché poi scrivi = S_[0, ln 2] 1 dx + S_[ln 2, 1] 2 dx? Il logaritmo naturale di 2 dove l'hai tirato fuori? 😓 

forse è proprio quella parte che avevo omesso che non mi ha fatto arrivare alla fine dell'esercizio 

La parte intera di e^x é 1 da 0 a ln 2 ed é invece 2 da ln 2 a 1. E' una funzione costante a tratti che si spezza in x = ln 2.

@eidosm come hai trovato che la parte intera di e^x è 1 da 0 a ln2 ed è 2 da ln2 a 1? a parte sostituendo manualmente la x e facendo i calcoli...

scusami sa sono un po' un neofita

Qui davvero non c'é nulla da capire. L'esponenziale é crescente, per cui a tappe la parte intera passa all'intero successivo. Nel nostro caso cambia da 1 a 2 quando e^x = 2 => x = ln 2

@eidosm ah ok adesso ho capito 🤩



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