I limiti notevoli rappresentano particolari limiti di funzioni elementari ricorrenti che vengono dimostrati una volta per tutte e che vengono dati per buoni nel calcolo dei limiti. In pratica i limiti notevoli possono essere usati come risultati assodati nel calcolo di limiti più complessi che li coinvolgono.
Limiti notevoli fondamentali
I limiti notevoli fondamentali sono quei limiti notevoli dai quali è possibile ricavare tutti gli altri. In particolare, abbiamo due limiti notevoli fondamentali. Uno è il limite notevole del seno:
$$
\lim {x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 $$
L’altro è il limite notevole del numero di Nepero: $$ \lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e
$$
Elenco completo dei limiti notevoli
N.B: nella generalizzazione di ciascun limite notevole, riportata a destra, la struttura rimane invariata e la variabile $x$ può essere sostituita da una qualsiasi funzione $f(x)$. Ciò è consentito a patto che valga una semplice condizione: la variabile $x$ può tendere a qualsiasi valore finito o infinito, purché $f(x)$ soddisfi la condizione specificata nel limite notevole generalizzato.
Tutti i seguenti limiti notevoli si riferiscono alla forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$ ad eccezione del limite notevole del numero di Nepero, che fa riferimento alla forma indeterminata $\left[1^{\infty}\right]$.
Limite notevole del logaritmo naturale
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1 \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x))}{f(x)}=1$$
Limite notevole della funzione logaritmica con base arbitraria
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\log {a}(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln (a)} \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\log {a}(1+f(x))}{f(x)}=\frac{1}{\ln (a)}$$
con $a>0, a \neq 1$
Limite notevole della funzione esponenziale
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1 \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1$$
Limite notevole della funzione esponenziale con base arbitraria
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln (a) \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln (a)$$
con $a>0$
Limite notevole del numero di Nepero
$$\lim {x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e$$
Limite notevole della potenza con differenza
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{c}-1}{x}=c \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{(1+f(x))^{c}-1}{f(x)}=c$
con $c \in \mathbb{R}$$
Limite notevole della funzione seno
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=1 \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\sin (f(x))}{f(x)}=1$$
Limite notevole della funzione coseno
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}=\frac{1}{2} \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{1-\cos (f(x))}{(f(x))^{2}}=\frac{1}{2}$$
Limite notevole della funzione tangente
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\tan (x)}{x}=1 \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\tan (f(x))}{f(x)}=1$$
Limite notevole dell’arcoseno
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\arcsin (x)}{x}=1 \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\arcsin (f(x))}{f(x)}=1$$
Limite notevole dell’arcotangente
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\arctan (x)}{x}=1 \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\arctan (f(x))}{f(x)}=1$$
Limite notevole del seno iperbolico
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\sinh (x)}{x}=1 \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\sinh (f(x))}{f(x)}=1$$
Limite notevole del coseno iperbolico
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\cosh (x)-1}{x^{2}}=\frac{1}{2} \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\cosh (f(x))-1}{(f(x))^{2}}=\frac{1}{2}$$
Limite notevole della tangente iperbolica
$$\lim {x \rightarrow 0} \frac{\tanh (x)}{x}=1 \quad ; \quad \lim {f(x) \rightarrow 0} \frac{\tanh (f(x))}{f(x)}=1$$