Calcolare i valori A e B in modo che la finzione sia continua

@aryisto

Ciao e benvenuto. Intanto il grafico finale:

Adesso spiegazione:

E' una funzione definita a tratti

Il 1° tratto è costituito dalla funzione coseno traslata in alto di a.

Questa componente vale nell'intervallo ]-inf;0]

Il 2° tratto è costituito dalla funzione y=3^x + x + 3·a - 3·b e quindi vale nell'intervallo ]0;1]

Il terzo tratto (finale) è costituito dalla funzione y= x^2 + b·x + a + 1 e quindi vale nell'intervallo

]1;+inf[

Tali componenti forniscono in virtù dei valori di a e di b dei salti nel grafico delle tre componenti stesse: "si vuole quindi "cucire" queste tre componenti nei punti critici x=0; x=1. Ciò è possibile se si possono ottenere dei valori opportuni di a e di b"

Per la 1^ componente si può vedere il valore della funzione in corrispondenza di x=0:

y = COS(0) + a---------> y = a + 1 

Per la seconda componente non si calcola il valore della funzione, ma quello del limite:

LIM(3^x + x + 3·a - 3·b) =3·a - 3·b + 1

x--->0+

Quindi si dice: ripristino la continuità ponendo: a + 1 = 3·a - 3·b + 1

Adesso vado a vedere cosa succede per x=1 in cui è definita la seconda componente:

y = 3^1 + 1 + 3·a - 3·b------->y = 3·a - 3·b + 4

Quindi prendo la terza componente e calcolo il limite:

LIM(x^2 + b·x + a + 1)= a + b + 2

x---->1+

Quindi abbiamo la seconda equazione: 3·a - 3·b + 4 = a + b - 2

Nella sostanza abbiamo un sistema lineare in a e b:

{2·a - 3·b = 0

{2·a - 4·b = -2

che risolto fornisce la soluzione desiderata: [a = 3 ∧ b = 2]

Nella sostanza si ottiene sempre una funzione definita a tratti ma continua:

y=

{COS(x) + 3 per x ≤ 0

{3^x + x + 3 per 0 < x ≤ 1

{x^2 + 2·x + 4 per x>1

 

Data la definizione per distinzione di casi di una famiglia di funzioni doppiamente parametriche
* f(x) = (x <= 0 & p(x)) oppure (0 < x <= 1 & q(x)) oppure (x > 1 & r(x))
con
* p(x) = cos(x) + a
* q(x) = 3^x + x + 3*a - 3*b
* r(x) = x^2 + b*x + a + 1
si chiede di stabilire per quali valori dei parametri le funzioni definite risultino continue cioè, dal momento che nessuno dei tre casi presenta discontinuità, per quali valori dei parametri le subfunzioni componenti abbiano lo stesso valore nelle ascisse di adiacenza; quindi si chiede di risolvere il sistema
* (p(0) = q(0)) & (q(1) = r(1)) ≡
≡ (cos(0) + a = 3^0 + 0 + 3*a - 3*b) & (3^1 + 1 + 3*a - 3*b = 1^2 + b*1 + a + 1) ≡
≡ (a + 1 = 3*a - 3*b + 1) & (4 + 3*a - 3*b = b + a + 2) ≡
≡ (3*b - 2*a = 0) & (a - 2*b + 1 = 0) ≡
≡ (a = 3) & (b = 2)
da cui
* p(x) = cos(x) + 3
* q(x) = 3^x + x + 3
* r(x) = x^2 + 2*x + 4
* f(x) = (x <= 0 & cos(x) + 3) oppure (0 < x <= 1 & 3^x + x + 3) oppure (x > 1 & x^2 + 2*x + 4)