[Risolto] Applicazione trigonometria

Dividiamo il quadrilatero in due triangoli. L'area del triangolo $\mathrm{ABD}$ si trova subito :

$$
\operatorname{Area}_{A B D}=\frac{1}{2} \overline{A B} \cdot \overline{A D} \sin (D \widehat{A} B)=\frac{1}{2} \cdot 58 \cdot 82 \cdot \sin \left(112.7^{\circ}\right) \approx 2194 \mathrm{~m}^{2}
$$

Adesso con il teorema del coseno applicato al triangolo $\mathrm{ABD}$ troviamo la diagonale BD:

$$\begin{array}{l}
\overline{D B}=\sqrt{\overline{A B}^{2}+\overline{A D}^{2}-2 \cdot \overline{A B} \cdot \overline{A D} \cdot \cos (D \widehat{A} B)}= \\
=\sqrt{58^{2}+82^{2}-2 \cdot 58 \cdot 82 \cdot \cos 112.7^{\circ}} \approx 117.3 \mathrm{~m}
\end{array}
$$

Nota la diagonale BD, sempre con il teorema del coseno ma applicato al triangolo BCD, troviamo l'angolo opposto BCD:

$$
B \widehat{C} D=\arccos \left(\frac{\overline{B D}^{2}-\overline{B C}^{2}-\overline{C D}^{2}}{-2 \cdot \overline{B C} \cdot \overline{C D}}\right)=\arccos \left(\frac{117.3^{2}-53^{2}-104^{2}}{-2 \cdot 53 \cdot 104}\right) \approx 90.7^{\circ}
$$

A questo punto possiamo trovare l'area del triangolo $\mathrm{BCD}$ :

$A r e a_{B C D}=\frac{1}{2} \cdot \overline{B C} \cdot \overline{D C} \cdot \sin (B \widehat{C} D)=\frac{1}{2} \cdot 53 \cdot 104 \cdot \sin \left(90.7^{\circ}\right) \approx 2756 \mathrm{~m}^{2}$

infine l'are del terreno:

Area $=\operatorname{Area}_{A B D}+\operatorname{Area}_{B C D}=2194+2756=4950 \mathrm{~m}^{2}$

@nellofra

Ciao. Se ho tempo e voglia vediamo di risolvere il problema sul piano cartesiano. Intanto allego il disegno:        112 + 42/60 = 112.7°

  Trasformiamo l'angolo sessadecimale in radianti (non necessaria l'operazione!)

112.7/180 = x/pi------------>x = 1127·pi/1800

Calcolo coordinate del punto D:

{x = 82·COS(1127·pi/1800)

{y = 82·SIN(1127·pi/1800)

quindi D(-31.644,75.648)

poi ricavo C tramite intersezione di due circonferenze:

{(x + 31.644)^2 + (y - 75.648)^2 = 104^2

{(x - 58)^2 + (y - 0)^2 = 53^2

Risolvo il sistema e considero delle due soluzioni quella contenuta nel 1° quadrante:

x = 69.56652209 ∧ y = 51.72248608----->C(69.567,51.722)

Metto in colonna le coordinate dei vertici:

A(0,0)

B(58,0)

C(69.567,51.722)

D(-31.644,75.648)

A(0,0)

Procedo con il metodo dell'allacciamento delle scarpe:

1/2·ABS(0·0 + 58·51.722 + 69.567·75.648 - 31.644·0 +

- (0·58 - 0·69.567 + 51.722·(-31.644) + 7.648·0)) = 4949.586 m^2

è l'area cercata!

 

 

 

Sono a Procida in un bar in piazza perché a casa non ho segnale, quindi mi mancano i miei normali mezzi ausiliarii (carta, penna, piano d'appoggio,...) e ti rispondo dando istruzioni e non calcoli.

Applichi il teorema di Carnot per ottenere la lunghezza di BD, poi due volte la formula di Erone per le aree dei due triangoli ABD e CBD, infine sommi i due risultati parziali.

si applica F. Viete (aka teor. del coseno) al triangolo ABD

lato BD = √58^2+82^2-2*58*82*cos 112,70 = 117,3

 

semiperimetro p1 del triangolo ABD = (58+82+117,3)/2 = 128,6

area ABD = √128,6*(128,6-58)*(128,6-82)*(128,6-117,3) = 2.194

 

semiperimetro p2 del triangolo BCD = (53+104+117,3)/2 = 137,1

area BCD = √137,1*(137,1-53)*(137,1-104)*(137,1-117,3) = 2.749

 

area totale ABCD = 2064+2749 = 4.943 m^2