[Risolto] parabola passante per l'origine e di vertice V

Ciao,

L’equazione generica della parabola è

$y=ax^2+bx+c $

 

Imponiamo  il passaggio della parabola per il punto $O=(0,0)$

Sostituendo a x e a y le coordinate del punto, si ha:

$c=0$

 

Imponiamo  il passaggio per $V$.

Le coordinate del vertice sono:

$(x_V,y_V)= \left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$

dove

$\Delta = b^2-4ac$

Qundi dobbiamo imporre le condizioni:

$-\frac{b}{2a} = -2$

e

$- \frac {b^2-4a\cdot c}{4a} = -4$

 

Abbiamo quindi un sistema di tre equazioni in tre incognite

$\begin{cases} c=0 \\ b = 4a\\ - \frac{b^2-4a\cdot c}{4a} = -4 \end{cases} $

$\begin{cases} c=0 \\ b = 4a\\ - \frac{b^2-4a\cdot 0}{4a} = -4 \end{cases} $

$\begin{cases} c=0 \\ b = 4a\\ -b^2 = -16 a \end{cases} $

$\begin{cases} c=0 \\ b = 4a\\ b^2 = 16 a \end{cases} $

$\begin{cases} c=0 \\ b = 4a\\ (4a)^2 = 16a \end{cases} $

$\begin{cases} c=0 \\ b = 4a\\ 16a^2-16 a = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} c=0\\ b = 4a\\ 16a(a-1) = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} c=0\\ b = 4a\\ a-1 = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} c=0\\ b = 4a\\ a = 1 \end{cases} $

 

Quindi l'equazione della parabola richiesta sarà

$y = x^2+4x $

 

Rappresentiamo la parabola.

Essendo $ a>0$ la parabola è rivolta verso l'alto.

 

saluti ? 

Ciao!

Dato che passa per l'origine $O(0;0)$ possiamo sostituire il punto nell'equazione generale della parabola $ y = ax^2+bx+c $

$ 0 = a \cdot 0^2+b \cdot 0 + c $ $\Rightarrow $ $c=0$

quindi

$y = ax^2+bx $

Il vertice ha formula generale $ V (-\frac{b}{a};- \frac{\Delta}{4a})$ con

$\Delta = b^2-4ac$

e sappiamo che $V(-2; -4)$

$ \begin{cases} -\frac{b}{2a} = -2 \\ -\frac{\Delta}{4a} = -4 \end{cases} $

$\begin{cases} b = 4a\\ - \frac{b^2-4a\cdot c}{4a} = -4 \end{cases} $

$\begin{cases} b = 4a\\ -frac{b^2-4a\cdot 0}{4a} = -4 \end{cases} $

$\begin{cases} b = 4a\\ -b^2 = -16 a \end{cases} $

$\begin{cases} b = 4a\\ (4a)^2 = 16a \end{cases} $

$\begin{cases} b = 4a\\ 16a^2-16 a = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} b = 4a\\ 16a(a-1) = 0 \end{cases} $

che ci dà come soluzioni: $a = 0 \vee a = 1 $

ma $a = 0$ non può essere perchè non avremmo una parabola, quindi per forza $a = 1$, da cui

$b = 4a = 4\cdot 1 = 4 $

Quindi la parabola è $y = x^2+4x $

Ecco...s

pero di esserti d'aiuto ?