[Risolto] parabola passante per tre punti

Ciao!

L'equazione generica della parabola è $ y = ax^2+bx+c$ e dobbiamo determinare $a$, $b$ e $c$.

per farlo imponiamo il passaggio per i punti $A(1;0)$, $B(0; -5)$, $C(2;3)$ sostituendo i valori delle loro ordinate e ascisse nell'equazione generica della parabola:

$\begin{cases} 0 = a \cdot 1^2+b\cdot 1+c \text{   punto $A$} \\ -5 = a\cdot 0^2+b \cdot 0+c \text{   punto $B$} \\ 3 = a \cdot 2^2+b\cdot 2 + c \text{   punto $C$} \end{cases} $

$\begin{cases} 0 = a+b+c \\ -5 = c \\ 3 = 4a+2b+c \end{cases} $

$\begin{cases} 0 = a+b-5 \\ c = -5 \\ 3 = 4a+2b-5 \end{cases} $

$\begin{cases} a= -b+5 \\ c = -5 \\ 3 = 4(-b+5) +2b-5 \end{cases} $

$\begin{cases} a = -b +5 \\ c = -5 \\ b= 6 \end{cases} $

$\begin{cases} a = -1 \\ c = -5 \\ b = 6 \end{cases}$

quindi la nostra parabola è $ y = -x^2+6x-5 $

Ecco....spero di esserti d'aiuto ?

 

Ciao,

L'equazione canonica della parabola è

$y=ax^2+bx+c$

Dobbiamo imporre che i punti A,B e C  appartengano alla parabola, cioè che le coordinate dei punti soddisfino l’equazione della parabola.

Sostituendo a x e a y le coordinate dei tre punti dati, si ha:

$a+b+c=0$ passaggio per A

$c=-5$ passaggio per B

$4a+2b+c=3$ passaggio per C

 

Mettiamo ora a sistema le tre equazioni e risolviamo per sostituzione

$\begin{cases}  a+b+c=0 \\ c=-5 \\  4a+2b+c =3\end{cases} $

$\begin{cases}  a+b-5=0 \\ c = -5 \\  4a+2b-5=3 \end{cases} $

$\begin{cases} a= -b+5 \\ c = -5 \\  4(-b+5)+2b-5=3 \end{cases} $

$\begin{cases} a = -b +5 \\ c = -5 \\  -4b+20+2b-5=3 \end{cases} $

$\begin{cases} a = -b +5 \\ c = -5 \\  -2b=3-20+5 \end{cases} $

$\begin{cases} a = -b +5 \\ c = -5 \\ -2b=-12 \end{cases} $

$\begin{cases} a = -b +5 \\ c = -5 \\ b= 6 \end{cases} $

$\begin{cases} a = -6 +5 \\ c = -5 \\ b= 6 \end{cases} $

$\begin{cases} a = -1 \\ c = -5 \\ b = 6 \end{cases}$

 

quindi l'equazione della parabola richiesta sarà

$ y = -x^2+6x-5 $

 

Rappresentiamo la parabola.

Essendo $ a<0$ la parabola è rivolta verso il basso.

Il vertice è:

$V=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$

$V(3,4)$.

 

saluti ?