[Risolto] dimostrazione superficie infinita tromba di torricelli

La spiegazione di questo paradosso è relativa alla dimensione delle grandezze coinvolte nei calcoli. La dimensione della lunghezza è 1, area 2 e volume 3 ($m, m^{2}, m^{3}$). Quando calcoliamo l'area della superficie di un solido di rotazione, supponiamo che il risultato sia composto di piccole strisce di quantità unidimensionale - "anelli" i cui raggi sono uguali all'altezza del solido in un punto dato. Quando queste vengono integrate (e quindi sommate tra loro) il risultato è una quantità bidimensionale: l'area della superficie. Similarmente, per misurare il volume di questo solido di rotazione si sommano al totale tutti i dischi (il cui raggio è, di volta in volta, l'altezza del solido); il risultato è una grandezza tridimensionale (volume).

Il paradosso sorge in quanto la lunghezza degli "anelli", che viene sommata per ottenere l'area della superficie, è di una dimensione minore (1 vs 2) dei vari "dischi" che vengono usati per trovare il volume.

Grazie alle formule di integrazione possiamo calcolare l'area e il volume del solido di rotazione:

Per il volume usiamo la seguente formula:

Essenzialmente, ciò significa che mentre X diventa sempre più grande, la grandezza numerica dei dischi bidimensionali che vengono aggiunti è sempre più piccola degli anelli unidimensionali, che diminuiscono così troppo velocemente per aumentare il volume ad una grandezza che sia superiore a Pi Greco. Quando integrato (come sopra), dovrebbe essere ovvio che il volume converge velocemente su Pi Greco.

Spero che questa spiegazione ti possa essere utile, altrimenti specifica meglio cosa non ti è chiaro. Ciao @xyz !

Cerco di rispondere ai tuoi dubbi.

Nelle prime due pagine ti allego la dimostrazione del volume finito e quello dell'area infinita fatti in maniera esplicita

Nella terza pagina ti allego la dimostrazione, uguale a quella qui già pubblicata da ... spiegando che in realtà la dimostrazione è fatta utilizzando non la funzione ma una minorazione( ed è per questo che trovi il segno di disuguaglianza) della stessa e che porta però ugualmente a dimostrare che la superficie è infinita