Numeri Reali

Partendo dall’insieme dei numeri naturali \mathbb{N} , è necessario introdurre l’insieme dei numeri interi \mathbb{Z} per poter fare la sottrazione. Introducendo l’insieme dei numeri razionali \mathbb{Q} è possibile fare la divisione. Nell’insieme \mathbb{Q} è possibile fare le quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}

E’ necessario ampliare \mathbb{Q} perché l’estrazione di radice non è interna a \mathbb{Q} . A ogni numero razionale corrisponde un numero decimale finito o periodico e viceversa, mentre in alcuni casi l’estrazione di radice ha come risultato numeri decimali illimitati e non periodici.

A ogni punto della retta non corrisponde un numero razionale ma a ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta (corrispondenza biunivoca).

\mathbb{N} -> INSIEME INFINITO

DEF. Dato un insieme A, si definisce cardinalità di A il numero degli elementi di A.

La cardinalità può essere finita (insieme finito), o infinita (insieme infinito). L’insieme \mathbb{N} costituisce il più piccolo insieme infinito possibile e tutti gli insiemi che hanno la stessa cardinalità di \mathbb{N} , si dicono numerabili.

\mathbb{Q} è denso in \mathbb{R} , quindi tra due numeri reali esiste sempre almeno un numero razionale.

\mathbb{R} è completo, comprende numeri interi, razionali, irrazionali. In pratica mettendo i punti su una retta, a ogni punto di essa corrisponde un numero reale.

  • SOMMA TRA DUE NUMERI REALI

Siano \alpha e \beta due numeri reali, si ha:

\alpha+\beta=sup\ \alpha^{n}+\beta^{n}

Dove α(n) e β(n) sono le troncature n-esime di \alpha e \beta . Ovvero \alpha+\beta è definito come l’estremo superiore di un insieme che contiene tutte le somme tra tutte le troncature n-esime di \alpha e \beta . In questo modo è definita la somma tra due numeri reali, come la somma tra due numeri razionali. (Le troncature n-esime, infatti, sono numeri decimali finiti non periodici, e quindi sono razionali).

  • RADICE QUADRATA

La radice quadrata è definita come l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato.

DEF.   a = b    se a=b2     con  a ≥ 0, b ≥ 0

ESEMPI:

\sqrt{4} = ± 2   poiché (2)2 = 4   e (-2)2 = 4

\sqrt{-16}   non esiste poiché nessun numero al quadrato da come risultato un numero negativo.

DEF.  Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non periodico.

ESEMPI:

\sqrt{3} , \sqrt[3]{5} , \sqrt{2} , \sqrt[5]{7}

Un numero reale è ogni numero razionale o irrazionale.

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