[Risolto] UN PROBLEMA DI PROBABILITÀ

ECCO LA SOLUZIONE ESATTA:

Grazie @pazzouomo!

Non capisco perché alla fine moltiplichi i numeri trovati per la probabilità dei gruppi sanguigni... non basta sommare i numeri che hai trovato sopra e basta? Se facessi così verrebbe lo steso risultato che è venuto a me. Mi sbaglio io?

Io ho fatto un procedimento diverso ma simile:

P [x può donare a y]

x = dona

y = riceve

= Pr [ y = 0 ] * Pr [ x = 0 ] + Pr [ x = 0 V A ] * Pr [ y = A ] + Pr [ x = 0 V B ] * Pr [ y = B ] + Pr [ y = qualsiasi ] * Pr [ x = AB ] =

$0,54\cdot0,54+0,33\cdot(0,54+0,33)+0,08\cdot(0,08+0,54)+0,05\cdot1$

Risultato $\approx0,68$

Ho sbagliato io? Se sì dove?

Grazie!

è il teorema delle probabilità totali che te lo dice! 

$P(D) = P(D \cap O)+P(D \cap A)+P(D\cap B) + P (D \cap AB) $

perchè così valuti tutti i casi.
Ma tu non sai quanto vale $P(D \cap O)$, o meglio, lo sai se consideri che:

$P(D \cap O) = P(D|O)P(O)$ dalla definizione di probabilità condizionata

concettualmente:

la probabilità che sia compatibile con il donatore selezionato non è soltanto dato da "Il gruppo 0 dona a tutti", ma dipende anche dalla probabilità di estrarre un donatore di gruppo "0". Se, ad esempio, ci fossero pochissimi gruppi "0" nella popolazione, la probabilità sarebbe drasticamente diversa anche se il fatto che "gruppo 0 dona a tutti" non cambia. 

Poi da come ho interpretato i tuoi conti mi sa che abbiamo calcolato due cose diverse...

Dall'ultimo pezzo sembra che tu consideri che se chi dona è AB (x = AB) allora chi riceve è chiunque (y = chiunque) ma non è così!

@pazzouomo. Ok penso di aver capito la differenza tra i nostri due conti:

Io ho considerato l’evento di estrarre un donatore X e l’evento di estrarre un ricevitore Y come indipendenti, dato che la probabilità di estrarre ad esempio un ricevitore di gruppo A, non modifica la probabilità di estrarre un donatore di gruppo 0 (e qui mi sbaglio forse?)

A questo punto ho fatto il prodotto logico tra i due eventi per ogni gruppo sanguigno, chiedendomi “qual è la probabilità di estrarre quel donatore X e che il ricevitore Y sia di quel gruppo sanguigno che va bene?”

E quindi ad esempio se y = A allora x = 0 oppure A, quindi calcolo la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi e viene:

P(A|AU0) = P(A) * P(AU0) = 0,33 * (0,54 + 0,33)

Poi faccio lo stesso con gli altri e sommo tutto e mi viene 0,68. E questo è lo stesso risultato che verrebbe a te se nell’ultimo passaggio sommassi soltanto i numeri già trovati senza fare le moltiplicazioni. È un caso? Perché ci sono quelle moltiplicazioni?

Non capisco dove sbaglio, cioè perché tu li hai considerati eventi dipendenti? La probabilità di estrarre un dato ricevitore non influenza la probabilità di estrarre un dato donatore. O sì? Non ho ben capito il tuo ragionamento, scusami.

Scusa di nuovo, se non ti va di rispondere non importa... 😃

Okay, credo di aver capito. Abbiamo modellizzato diversamente, non è un problema di dipendenza o indipendenza degli eventi, perché stiamo considerando proprio eventi diversi. 
Tu stai considerando l'estrazione di due persone e , successivamente, controlli che siano compatibili, io di un donatore e un ricevitore-compatibile. 

Il problema sta proprio nel calcolo di
$P(A|A \cup 0) = P(A) \cdot P(A \cup 0) $ non è vero 

perchè se $A \cup 0$ e $A$ sono indipendenti, il condizionamnto rimane invariato, non si moltiplica, quindi avresti

$P(A | A \cup 0) = P(A) $ 

Quello che si fattorizza è l'intersezione: $P(A \cap 0) = P(A) \cdot P(0)$

Se non sono indipendenti

$P(A| A \cup 0) = \frac{ P(A \cap 0) }{P(A\cup 0)} $

Inoltre, $P(A \cap 0) = P(A)+P(0) - P(A \cap 0)$ quindi non basta sommare le probabilità per calcolare la somma!

Quindi avresti: $P(A \cap 0) = 0.54+0.33 -0.54 \cdot 0.33 $

Nel complesso quindi continuo a non capire dove stia l'errore nel tuo conto anche perché dovrei vedere come hai svolto l'intero esercizio, ma credo ci sia qualche sbaglio nelle formule che hai usato!

@pazzouomo

Hai ragione, ho sbagliato ad usare il simbolo | , ora ho corretto, però i conti che ho fatto comunque non dipendono da quello... Non so dove ho sbagliato 😕????

Io semplicemente ho fatto il prodotto logico e poi ho sommato i vari prodotti.

Verificando la probabilità, come hai detto tu, che estraendo due persone siano compatibili; ho fatto ciò per ogni gruppo sanguigno e poi ho sommato le probabilità.

Il ragionamento che ho fatto è questo:

• • Qual è la probabilità di prendere un ricevitore di un determinato gruppo sanguigno?
• • Qual è la probabilità che esca un donatore che sia compatibile con il ricevitore scelto prima?
• • Qual è al probabilità che entrambi gli eventi precedenti si verifichino contemporaneamente? (Faccio il prodotto logico)
• • Ripeto la stessa cosa per ogni gruppo sanguigno e poi sommo. Non penso serva sottrarre qualche intersezione, perché sono eventi incompatibili i gruppi sanguigni, nel senso che una persona può essere di un solo gruppo.

Ciao @pazzouomo, ho finalmente ricevuto la correzione del problema (la correzione è del libro di testo quindi sicuramente è giusta). Se ti interessa ancora... avevo ragione io 😊 Grazie comunque di tutto.