Disuguaglianza di Markov.
Sia X una variabile casuale che assume solo valori positivi e k un numero positivo.
Se esiste la media di X, allora Pr [ X >= k ] <= E[X]/k.
Dimostrazione.
Faccio riferimento al caso continuo, perché il caso discreto può essere ad esso ricondotto attraverso il formalismo delle delta
E[X] = S_[0,+oo[ x fX(x) dx = S_[0,k] x fX(x) dx + S_[k,+oo] x fX(x) dx >= S_[k,+oo] x fX(x) dx >=
>= S_[k,+oo] k fX(x) dx = k S_[k,+oo] fX(x) dx = k Pr [X >= k] per definizione di pdf
ovvero essendo k positivo Pr [ X >= k ] <= E[X]/k.
La Disuguaglianza di Tchebichev é un caso particolare di questa.
Basta applicarla a Y = (X - uX)^2 con eps > 0
Pr [ (X - ux)^2 >= eps^2 ] <= E[(X - uX)^2]/eps^2
Pr [ |X - uX| >= eps ] <= sigmaX^2/eps^2
Quello a cui servono é stimare per disuguaglianza una probabilità senza conoscere la distribuzione.
Aggiungerò altri elementi più tardi.
Per applicare invece la disuguaglianza ad una distribuzione nota si calcolano la media e la varianza e si vanno a sostituire nell'ultima espressione. La bontà della stima ottenuta dipende dalla distribuzione.
