trapezio iscoscele

Quando un trapezio inscritto in una circonferenza ha la base maggiore coincidente col diametro si forma un triangolo rettangolo composto da, base maggiore, lato obliquo e diagonale (fai il disegno per seguire meglio il procedimento); quindi applicando i teoremi di Euclide a questo possiamo calcolare alcune misure anche del trapezio:

raggio $r= \frac{50}{2} = 25~cm$;

ciascun lato obliquo (cateto minore del triangolo) $lo= \frac{6}{5}×25 = 30~cm$;

proiezione lato obliquo $plo= \frac{30^2}{50} = \frac{900}{50} = 18~cm$ (1° teorema di Euclide);

proiezione diagonale $pd= 50-18 = 32~cm$;

altezza del trapezio (= altezza relativa all'ipotenusa del triangolo) $h= \sqrt{32×18} = 24~cm$ (2° teorema di Euclide);

base minore $b= 50-2×18 = 14~cm$;

infine:

perimetro del trapezio isoscele $2p= B+b+2lo = 50+14+2×30 = 124~cm$;

area $A= \frac{(B+b)×h}{2} = \frac{(50+14)×24}{2} = \frac{64×24}{2} = 768~cm^2$.

un trapezio isoscele inscritto in una circonferenza ha la base maggiore AB di 50 cm coincidente con il diametro d e i lati obliqui (BC = AD) pari ai  6/5 del raggio; calcola il perimetro 2p e l'area A del trapezio

OC = OB = raggio = d/2 = 25 cm 

BC = 25*6/5 = 30 cm

approccio a) 

si applica il teorema di F. Viete (aka del coseno)

BC^2 = OC^2+OB^2-2*OC*OB*cos CôB

2*25*25*cos CôB = -900+25^2+25^2

cos CôB = 350/1250 = 0,280 

angolo CôB = arccos 0,280 = 73,74°

angolo DôC = 180-2* CôB = 32,52°

si riapplica il teorema di F. Viete (aka del coseno)

DC = √25^2+25*2-2*25*25*cos 32,52  = √1250(1-0,8432) = 14,00 cm

altezza CH = √OC^2-(DC/2)^2 = √25^2-7^2 = 24 cm 

perimetro 2p = 2*30+50+14 = 124 cm

area A = (50+14)*24/2 = 768 cm^2

approccio b)

triangolo ABC retto in C

AC = √AB^2-BC^2 = 10√5^2-3^2 = 10√16 = 40,0 cm

altezza CK = BC*AC/AB = 30*40/50 = 120/5 = 240/10 = 24,0 cm 

semidiff. basi KB = √BC^2-CK^2 = 2√15^2-12^2 = 2*9 = 18,0 cm

base min . CD = AB-2*BK = 50-18*2 = 14,0 cm 

perimetro 2p = 2*30+50+14 = 124 cm

area A = (50+14)*24/2 = 768 cm^2

diametro = AB = 50 cm;

raggio r = 50 / 2 = 25 cm;

lato obliquo AD = 25 * 6/5 = 30 cm;

ABC = triangolo rettangolo, perché inscritto in una semicirconferenza; AB è l'ipotenusa; CB è un cateto;

AC = radicequadrata(50^2 - 30^2) = radf(1600) = 40 cm;

Area triangolo ABC = 40 * 30 / 2 = 600 cm^2;

altezza CH, relativa all'ipotenusa AB:

CH = Area * 2 / AB;

CH = 600 * 2 / 50 = 24 cm; (altezza trapezio).

Troviamo HB nel triangolo HBC:

HB = radice(30^2 - 24^2) = rad(324) = 18 cm;

Base minore trapezio:

CD = 50 - (18 * 2) = 14 cm; (base minore);

Area trapezio ABCD:

Area = (50 + 14) * 24 / 2 = 768 cm^2;

Perimetro trapezio ABCD;

Perimetro = 50 + 30 + 30 + 14 = 124 cm.

Ciao  @nadia_moreschi